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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mo 29.11.2004 | | Autor: | zipper |
hallo,
ich soll mittels vollständiger induktion folgende aussage beweisen:
[mm] \vektor{3n \\ n} \ge 3^{n}
[/mm]
das kann ich ja umformen zu: (3*k+1)!/(k+1)!*(2*k+2)!
das ist ja gleich (3*k)!*(3*k+1)*(3*k+2)*(3*k+3)/k!*(2*k)!*(2*k+1)*(2*k+2).
und hier komm ich nich weiter, wie soll ich die Induktionsvoraussetzung benutzen?
die heißt ja (3*k)!/k!*(2*k)! [mm] \ge 3^{k}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Mo 29.11.2004 | | Autor: | frabi |
Hi Zipper!
> hallo,
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> ich soll mittels vollständiger induktion folgende aussage
> beweisen:
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> [mm]\vektor{3n \\ n} \ge 3^{n}
[/mm]
>
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> das kann ich ja umformen zu: (3*k+1)!/(k+1)!*(2*k+2)!
> das ist ja gleich
> (3*k)!*(3*k+1)*(3*k+2)*(3*k+3)/k!*(2*k)!*(2*k+1)*(2*k+2).
>
> und hier komm ich nich weiter, wie soll ich die
> Induktionsvoraussetzung benutzen?
>
>
> die heißt ja (3*k)!/k!*(2*k)! [mm]\ge 3^{k}
[/mm]
>
Also ein Induktionsbeweis läuft immer nach folgendem Schema ab:
1. Induktionsanfang: Hier sucht man sich ein [mm] $n_0$, [/mm] für das die Aussage gilt
2. Induktionsvoraussetzung: Die Aussage gelte für ein $n [mm] \in \IN$
[/mm]
3. Induktionsschluss: Hier wird gezeigt, dass die Aussgage für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt.
Das macht man indem man vom "Gelten der Aussage für $n$" auf das "Gelten
der Aussage für $n+1$ schliesst. 'N bisschen doof ausgedrückt ok.
Konkret:
(IA): Die Aussage gilt für $n=1$, denn
[mm]
\vektor{3n \\ n} = \vektor{3 \\ 1} = 3 \ge 3 = 3^1 = 3^{n}
[/mm]
Die Induktionsvorraussetzung haben wir also für $n=1$
ok. Das ist schon mal die halbe Laube.
Jetzt weiter zum Induktionsschluss.
Wir müssen also jetzt zeigen, dass
[mm] \vektor{3(n+1) \\ n+1} \ge 3^{n+1}.
[/mm]
Das macht man, indem man die Aussage für $n+1$ auf die (bereits bewiesene) Aussage
für $n$ zurückführt, wie Du es ja schon beschrieben hast (aber Vorsicht: Klammern setzten im Nenner nicht vergessen  ).
Also:
[mm]
\vektor{3(n+1) \\ n+1} = \frac{(3n+3)!}{(n+1)!(2n+2)!}
= \frac{(3n)!(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{n!(n+1)(2n!)(2n+1)(2n+2)}
[/mm]
So. jetzt probier mal, den Ausdruck auf die Form
[mm] $\vektor{3n \\ n}\cdot [/mm] A$ zu bringen. Dann musst Du nur noch zeigen, dass [mm] $A\ge [/mm] 3$ ist,
und Du bist Fertig.
viele Grüße
frabi
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