induzierte Metrik Durchmesser < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Ist [mm] X\not= [/mm] {0} ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] und d von einer Norm [mm] \parallel *\parallel [/mm] auf X induzierte Metrik, so gilt diam [mm] B_{r}(a)=2r [/mm] für [mm] a\in [/mm] X und r>0. |
Hallo,
ich komme da irgendwie nicht weiter.
Zunächst mal einige Definitionen:
d ist durch eine Norm [mm] \parallel *\parallel [/mm] auf X induziert, d.h. [mm] d(x,y)=\parallel [/mm] x-y [mm] \parallel
[/mm]
[mm] B_{r}(a):=\{y\in X|d(a,y)\le r\} [/mm] hier also [mm] B_{r}(a)=\{ y\in X| \parallel a-y\parallel\le r\}
[/mm]
diam A= [mm] sup_{x,y\in A}d(x,y)
[/mm]
Ich muss also insgesamt zeigen:
[mm] sup_{x,y\in\{z\in X|\parallel z-a \parallel \le r\}}\parallel x-y\parallel=2r
[/mm]
Kann ich mit [mm] sup_{x,y \in B_{r}(a)}\parallel x-y\parallel=sup_{z \in B_{r}(a)}\parallel 2*(z-a)\parallel [/mm] argumentieren oder ist das falsch?
Gürße Ned.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Di 05.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst schon ||x-y||=||x-a -(y-a)|| mit der Dreiecksungl. angehen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo Leduart und alle anderen  ,
> du musst schon ||x-y||=||x-a -(y-a)|| mit der Dreiecksungl. angehen.
Wenn ich die Dreiecksungleichung benutze, bekomme ich aber doch immer
[mm] \le [/mm] 2r raus und ich brauche doch =2r.
Wie kann ich das machen?
Gruß Ned.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Di 05.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Mit leduarts Hinweis hast du [mm] $\operatorname{diam}(B_r(0))\le [/mm] 2r$ gezeigt. Bleibt noch das [mm] $\ge$ [/mm] zu zeigen. Wähle ein [mm] x\in [/mm] X ungleich 0. Dann sind [mm] $y:=\frac{rx}{\|r\|}$ [/mm] und -y in [mm] $B_r(0)$ [/mm] und [mm] $d(y,-y)=\|2y\|=2r$.
[/mm]
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
> Mit leduarts Hinweis hast du [mm]\operatorname{diam}(B_r(0))\le 2r[/mm]
> gezeigt. Bleibt noch das [mm]\ge[/mm] zu zeigen. Wähle ein [mm]x\in[/mm] X
> ungleich 0. Dann sind [mm]y:=\frac{rx}{\|r\|}[/mm] und -y in [mm]B_r(0)[/mm]
> und [mm]d(y,-y)=\|2y\|=2r[/mm].
>
Ah, ich glaube, dass habe ich jetzt verstanden. Ich vermute mal, dass das bei [mm]y:=\frac{rx}{\|r\|}[/mm] ein Tippfehler ist und im Nenner [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] und nicht [mm] \parallel [/mm] r [mm] \parallel [/mm] stehen muss oder? (Sonst habe ich es doch noch nicht verstanden.)
Und wenn ich das jetzt allgemein machen will (also für [mm] B_{r}(a) [/mm] und nicht nur für [mm] B_{r}(0) [/mm] ) muss ich doch einfach [mm] y_{1}=a+\frac{rx}{\|x\|} [/mm] und [mm] y_{2}=a-\frac{rx}{\|x\|} [/mm] wählen und dann [mm] d(y_{1},y_{2}) [/mm] =...=2r berechnen oder?
Danke und Grüße Ned
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Di 05.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ah, ich glaube, dass habe ich jetzt verstanden. Ich vermute
> mal, dass das bei [mm]y:=\frac{rx}{\|r\|}[/mm] ein Tippfehler ist
> und im Nenner [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] und nicht [mm]\parallel[/mm] r
> [mm]\parallel[/mm] stehen muss oder?
Richtig...
> Und wenn ich das jetzt allgemein machen will (also für
> [mm]B_{r}(a)[/mm] und nicht nur für [mm]B_{r}(0)[/mm] ) muss ich doch einfach
> [mm]y_{1}=a+\frac{rx}{\|x\|}[/mm] und [mm]y_{2}=a-\frac{rx}{\|x\|}[/mm]
> wählen und dann [mm]d(y_{1},y_{2})[/mm] =...=2r berechnen oder?
Richtig...
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ned
|
|
|
|
