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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
folgende Kreisformel soll substituiert werden:
$ \integral_{a}^{b} { \wurzel{1- x^{2}} dx}$
hab probleme den Lösungsweg nachzuvollziehen. den ansatz kriege ich ja noch hin: x=sin(t) Substitution.
dannach müsste man mit der "Phönix aus der asche" methode oder mit den Additionstheorem weiterrechnen.
Mein größtes Problem:
ich verstehe die rücksubstitution des ganzen nicht mehr.
Die Lösung lautet:
$\bruch{1}{2} {x \wurzel{1- x^{2}+arcsin(x)}$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ja, die Substition ist doch schon richtig, ich rechne dir mal ein paar Schritte vor und du machst dann weiter, ok?
Substitution:
$x=sin(u)$
[mm] $\Rightarrow\frac{dx}{du}=cos(u)$
[/mm]
[mm] $\gdw dx=cos(u)\cdot [/mm] du$
Damit du dir die Rücksubstitution erspart, stellst du die Substitionsgleichung noch nach $u$ um und setzt die Integrationsgrenzen in sie ein:
$x=sin(u)$
[mm] $\gdw sin^{-1}(x)=u$
[/mm]
[mm] $a_{neu}=sin^{-1}(a)$
[/mm]
[mm] $b_{neu}=sin^{-1}(b)$
[/mm]
Daraus ergibt sich dann:
[mm] $\integral_{a}^{b}{\sqrt{1-x^2}}=\integral_{sin^{-1}(a)}^{sin^{-1}(b)}{\sqrt{1-sin^2(u)}\cdot cos(u)\cdot du}$
[/mm]
Wegen des trigonometrischen Pythagoras gilt:
[mm] $cos^2+sin^2=1$
[/mm]
[mm] $\gdw 1-sin^2=cos^2$
[/mm]
So, schaffst du es ab hier alleine weiter?
Liebe Grüße,
Hanno
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Vielen dank für die begrüßung!
respekt und ein dankeschön.
mein problem liegt aber im schluß der aufgabe.
nach der substitution hat man
[mm] \integral_{aneu}^{bneu} {sin(t)^2 dt}
[/mm]
da stehen
man löst auf, danach erhält man
1/2*(t-sin(t)*cos(t))
in den entsprechenden grenzen [hab so meine probleme mit der eingabe]
wie bringe ich das in die abhängigkeit x´s zurück? rücksubstitution... aber wie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi!
Kleine Anmerkung:
Es ist zwar für das Endergebnis irrelevant, ob du nun zu Beginn $x=sin(u)$ oder $x=cos(u)$ substituierst, aber falls du ersteres getan hast, stimmt das Integral nicht, es muss dann nämlich [mm] $\integral_{a_{neu}}^{b_{neu}}{cos^2(u)\cdot du}$ [/mm] heißen. Nur als Anmerkung.
Und nun zu deinem Problem:
Wenn du die Integrationsgrenzen mitsubstituiert hast, dann musst du am Ende nicht mehr rücksubstuieren. Du hast alles, was zuvor eine Marke für die Funktion abhängig von $x$ in eine solche für die Funktion abhängig von $u$ überführt. Somit musst du nichts weiter tuen als am Ende die Integrationsgrenzen für $t$ einsetzen.
Liebe Grüße,
Hanno
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