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inf sup: was ist das?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Mo 28.03.2005
Autor: Bastiane

Hallo Forum! ;-)

Kann mir vielleicht jemand erklären, was folgendes bedeutet:
[mm] \inf_{\mu(N)}\sup_{\Omega \setminus N}|f(x)| [/mm] ? (also, das soll eigentlich Omega ohne N heißen...)
(edit (Marcel): Der Befehl dafür lautet [mm] [nomm]$\setminus$[/nomm]. [/mm] Ich habe es bereits geändert!)
Ich nehme mal an, dass N eine Nullmenge ist, oder? Dann würde man bei dem Supremum doch die betragsmäßig größte Funktion nehmen, die in [mm] \Omega [/mm] liegt, aber nicht in einer Nullmenge. Also, die keine Nullmenge ist, oder? Und davon würde man dann das Infimum nehmen. Jetzt verstehe ich aber einerseits nicht, wie ich denn vom Supremum - das ist doch nur eine Zahl und keine Menge mehr, oder? - noch das Infimum nehmen kann, und zweitens, was das [mm] \mu(N) [/mm] genau zu bedeuten hat.

Vielleicht wäre auch ein Beispiel hierzu hilfreich!?

Ach ja: wir haben noch dazu aufgeschrieben, dass das obige auch unter ess-sup zu finden ist, leider hat meine Suche danach auch keine hilfreiche Erklärung gegeben...

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


        
Bezug
inf sup: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 Mo 28.03.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

Richtig (bzw. ausführlich) muss es so heißen:

[mm] $\inf\limits_{N \subset \Omega\, : \, \mu(N)=0} \sup\limits_{x \in \Omega \setminus N} [/mm] |f(x)|$.

Und jetzt dürfte es klar sein:

Für jede Nullmenge $N$ bildest du das Supremum von $f$ außerhalb von $N$. Du erhältst dann also ein Menge von Zahlen (eben den verschiedenen Suprema, die sich für jede Nullmenge ergeben). Und von dieser Menge bildest du dann das Infimum.

Klar? :-)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
inf sup: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:23 Mo 28.03.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!
> Liebe Christiane!
>  
> Richtig (bzw. ausführlich) muss es so heißen:
>  
> [mm]\inf\limits_{N \subset \Omega\, : \, \mu(N)=0} \sup\limits_{x \in \Omega \setminus N} |f(x)|[/mm].
>  
> Und jetzt dürfte es klar sein:
>  
> Für jede Nullmenge [mm]N[/mm] bildest du das Supremum von [mm]f[/mm]
> außerhalb von [mm]N[/mm]. Du erhältst dann also ein Menge von Zahlen
> (eben den verschiedenen Suprema, die sich für jede
> Nullmenge ergeben). Und von dieser Menge bildest du dann
> das Infimum.
>  
> Klar? :-)

Ja, ich glaube schon, danke! :-) Ich fürchte, ein Beispiel wäre zu kompliziert, als das es das Ganze vereinfachen würde. Es kann nämlich sein, dass ich das hier bald wieder vergessen habe... Aber ich druck's mir mal aus und hefte es ab. :-)

Viele Grüße
Christiane
[winken]


Bezug
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