inf/sup < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Mo 07.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Zeigen sie
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] a_{n} +\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] b_{n}\le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] (a_{n}+b_{n})\le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] (a_{n}+b_{n})\le limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] a_{n} [/mm]
[mm] +\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] b_{n} [/mm] |
Hallo,
kann mir vlt jemand einen anstoß geben?
Ich weiß zwar was inf (größte untere Schranke) und sup (kleinste obere Schranke) ist, weiß jedoch nicht wie ich das zeigen soll.
Ich hatte überlegt, es mit zwei Folgen zu versuchen, aber dann ist es ja nicht allgemeingültig.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben kann.
Bedanke mich im voraus!
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:55 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen sie
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] inf [mm]a_{n} +\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> inf [mm]b_{n}\le \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] inf
> [mm](a_{n}+b_{n})\le \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm](a_{n}+b_{n})\le limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]a_{n}[/mm]
> [mm]+\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]b_{n}[/mm]
> Hallo,
>
> kann mir vlt jemand einen anstoß geben?
> Ich weiß zwar was inf (größte untere Schranke) und sup
> (kleinste obere Schranke) ist, weiß jedoch nicht wie ich
> das zeigen soll.
> Ich hatte überlegt, es mit zwei Folgen zu versuchen, aber
> dann ist es ja nicht allgemeingültig.
Wenn ich obiges lese, kommt mir der Verdacht, dass Du keinen Schimmer hast, was lim sup und lim inf einer Folge sind.
Vorschlag: mach Dich schlau.
Dann sehen wir weiter.
FRED
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> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben
> kann.
>
> Bedanke mich im voraus!
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Di 08.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
das hab ich doch schon hingeschrieben.
lim sup ist die kleinste obere Schranke(=obere Grenze), lim inf ist die größte untere Schranke(=untere Grenze).
Beispiel : [mm] a_{n} [/mm] = 1 + [mm] (-1)^n [/mm]
die Folge lautet 0,2,0,2,0,2,... also ist lim sup(an)=2 und lim inf(an) = 0
oder irre ich mich?`
Lg Melisa
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Hiho,
> Hallo,
>
> das hab ich doch schon hingeschrieben.
> lim sup ist die kleinste obere Schranke(=obere Grenze),
> lim inf ist die größte untere Schranke(=untere Grenze).
leider nicht. Du meinst Infimum und Supremum!
Wir reden hier allerdings von Limes Inferior und Limes Superior.
Wie gesagt, mach dich schlau.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Di 08.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
lim inf kleinster Häufungspunkt
lim sup größter Häufungspunkt
????
lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> lim inf kleinster Häufungspunkt
>
> lim sup größter Häufungspunkt
>
>
> ????
Bingo !
FRED
>
> lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:37 Mi 09.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich weiß jetzt aber immer noch nicht wie ich das zeigen soll :S
Kannst mir jemand vlt einen Anstoß geben
Lg Melisa
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Hiho,
ok, also von vorne (wie immer bei solchen Aufgaben).
Ihr habt den [mm] \liminf [/mm] bzw [mm] \limsup [/mm] bestimmt definiert.... nun die große Frage: Wie?
Schreibe dir auf, was laut euren Definitionen dasteht und dann überlege dir, was du zu zeigen hast.
Als Tip: Lass die Limes-Bildung mal weg, wie sieht die Ungleichung dann aus?
Kannst du diese Beweisen und wenn ja, was hilft dir das?
MFG,
Gono.
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Die Deffinition lautet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] a_{n} [/mm] := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (sup [mm] [a_{k}:k \ge [/mm] n])
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] a_{n} [/mm] := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (inf [mm] [a_{k}:k \ge [/mm] n])
...aber hilft mir nicht weiter, oder übersehe ich etwas?
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Doch, wenn du die Ungleichungen zeigst ohne das lim, also bspw.
[mm] $\inf [a_{k}:k \ge [/mm] n] + [mm] \inf [b_{k}:k \ge [/mm] n] [mm] \le \inf [a_{k} [/mm] + [mm] b_k:k \ge [/mm] n]$
Ergibt sich das für den Limes von selbst.
Und das sollte doch zu machen sein 
MFG,
Gono.
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Ich komme zu einem anderen ergebnis:
lim inf [mm] (x_n [/mm] + [mm] y_n) [/mm] < lim inf [mm] x_n [/mm] + lim inf [mm] y_n
[/mm]
denn:
Als Gegenbeispiel nehmen wir [mm] x_n [/mm] = (−1)n, [mm] y_n [/mm] = −(−1)n.
Dann ist lim inf [mm] x_n [/mm] = lim inf [mm] y_n [/mm] = 1, aber lim inf [mm] (x_n [/mm] + [mm] y_n) [/mm] = 0
...oder etwa nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich komme zu einem anderen ergebnis:
Tatsächlich !?
>
> lim inf [mm](x_n[/mm] + [mm]y_n)[/mm] < lim inf [mm]x_n[/mm] + lim inf [mm]y_n[/mm]
>
> denn:
>
> Als Gegenbeispiel nehmen wir [mm]x_n[/mm] = (−1)n, [mm]y_n[/mm] =
> −(−1)n.
> Dann ist lim inf [mm]x_n[/mm] = lim inf [mm]y_n[/mm] = 1, aber lim inf [mm](x_n[/mm]
> + [mm]y_n)[/mm] = 0
>
> ...oder etwa nicht?
etwa nicht: Dein Gegenbeispiel ist keines ! Ich nehme an, Du meinst [mm] x_n [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] und [mm] y_n [/mm] = [mm] -x_n
[/mm]
Dann ist lim inf [mm] x_n [/mm] = lim inf [mm] y_n [/mm] = -1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 Do 10.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
Morgen alle zusammen,
sry aber ich weiß echt nicht wie ich diese
> [mm]\inf [a_{k}:k \ge n] + \inf [b_{k}:k \ge n] \le \inf [a_{k} + b_k:k \ge n][/mm]
>
Ungleichung zeigen soll und warum soll das jetzt einfacher sein als mit lim?
Lg Melisa
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Hiho,
> sry aber ich weiß echt nicht wie ich diese
> Ungleichung zeigen soll und warum soll das jetzt einfacher
> sein als mit lim?
Ihr hattet doch bestimmt schon Aufgaben mit Infimum bzw. Supremum zu rechnen, oder?
Lass mal auf einer Seite das Inf weg (welcher? Nur eine macht Sinn) und überlege dir, wieso die Ungleichung dann immer noch gilt (das ist einfach!), und dann Denke nach, wieso du ohne Bedenken das inf wieder hinzufügen kannst.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Do 10.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
$ [mm] \inf [a_{k}:k \ge [/mm] n] + [mm] \inf [b_{k}:k \ge [/mm] n] [mm] \le \inf [a_{k} [/mm] + [mm] b_k:k \ge [/mm] n] $
ich kann doch nur links was wegnehmen so das die Gleichung noch stimmt ansonsten ist die rechte seite ja nicht mehr größer gleich?
P.s. nein leider ist dies meine erste übung dazu
lg Melisa
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Also wenn ihr [mm] \liminf [/mm] definiert, brauchst du dafür wohl einmal [mm] \lim [/mm] und einmal [mm] \inf
[/mm]
> ich kann doch nur links was wegnehmen so das die Gleichung
> noch stimmt ansonsten ist die rechte seite ja nicht mehr
> größer gleich?
Du sollst ja nix "wegnehmen", sondern das inf mal weglassen, dadurch wird der Wert ja grösser (warum?).
Ok, lassen wir rechts mal das inf weg (und schreiben das nicht mit den doofen eckigen Klammern, damit das übersichtlicher ist) dann steht da:
$ [mm] \inf_{k \ge n} a_{k} [/mm] + [mm] \inf_{k\ge n} b_{k} \le a_{k} [/mm] + [mm] b_k \text{ für } [/mm] k [mm] \ge [/mm] n $
Stimmt diese Gleichung und wenn ja, warum?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Do 10.12.2009 | | Autor: | melisa1 |
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> [mm]\inf_{k \ge n} a_{k} + \inf_{k\ge n} b_{k} \le a_{k} + b_k \text{ für } k \ge n[/mm]
>
> Stimmt diese Gleichung und wenn ja, warum?
ich denke sie stimmt weil inf heißt ja kleinster häufungspunkt und die addition der folgen sind größer als die addition ihrer häufungspunkte oder nicht
(sry aber weil wir noch nichts mit inf und sup gemacht haben fällt es mir ziemlich schwer ist schon zu peinlich)
Lg Melisa
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Hiho,
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> ich denke sie stimmt weil inf heißt ja kleinster
> häufungspunkt und die addition der folgen sind größer
> als die addition ihrer häufungspunkte oder nicht
*seufz*
also: [mm] \inf [/mm] ist NICHT der kleinste Häufungspunkt, sondern [mm] \liminf [/mm] !
Was ist [mm] \inf [/mm] ? Das Infimum. Was ist das Infimum?
Und da stehen keine Folgen, sondern Folgenglieder, zumindest im rechten Teil der Ungleichung.
Formuliere mir die Ungleichung doch mal bitte in Worten um zu sehen, was du verstanden hast, und was nicht.
MFG,
Gono.
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