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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mi 01.06.2011 | | Autor: | piep |
| Aufgabe | Man berechne die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:
[mm] y''-2y'+2y=x*e^{-x} [/mm] |
Hallo,
also ich weiß nicht so recht, ob das alles so richtig ist, deshalb fang ich erstmal an:
Ich hab die charakteristische Gleichung aufgestellt und berechnet:
[mm] k^{2}-2k+2=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow k_{1,2}=1 \pm [/mm] i
Dann ist die allgemein Lösung des homogenen DGL:
[mm] y_{h} [/mm] (x) = [mm] e^{x}*(c1*cos(x)+c2*sin(x))
[/mm]
Ist das bisher so richtig?
Und dann komm ich leider nicht mit dem Ansatz für [mm] y_{p} [/mm] nicht weiter, weil ich überhaupt nicht weiß was nun passiert, wenn rechts nicht nur [mm] e^{-x} [/mm] steht, sondern eben [mm] x*e^{-x}... [/mm] Und die Ansätze in der Vorlesung verstehe ich auch nicht so recht, weil das meiner Meinung nach recht unübersichtlich ist. Vor allem weil da immer p(0) steht und ich einfach nicht weiß wo das herkommt plötzlich...
Naja, meine eigentliche Frage ist eigentlich: Wie komme ich an [mm] y_{p}? [/mm] Kann mir da jemand einen Tipp geben?
lg piep
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:11 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
tip: [mm] y_p=A*x*e^{-x}+B*e^{-x} [/mm] , einsetzen, A,B bestimmen.
wie ich drau komme? wenn man nur [mm] A*x*e^{-x} [/mm] ansetzt kommt beim differenzieren noch glieder mit [mm] A*e^{-x} [/mm] dazu, damit man die wegheben kann eben dann noch der zweite Term.
Gruss leduart
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