inhomogene DGL - System < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Mi 05.03.2014 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | | Betrachte folgende DGL [mm] y'' + 3y'+y=sin(x) [/mm]. Wie sehen die homogenen Lösungen aus? Wie berechnet man die partikulären Lösungen? Wie ist die Dimension des Lösungsraumes? Schreiben Sie die DGL in ein System 1. Ordnung um. Wie sehen die Eigenwerte aus? Was sind die stationären Punkte? Wie sieht die Lösung in den Punkten (0,1) und (0,-1) aus? Wohin läuft die Lösung in diesen Punkten? |
Hallo Leute,
Ich sag euch erstmal was ich schon habe:
Also die homogenen Lösungen habe ich durch den Ansatz mit der e-Funktion bestimmt und erhalte:
[mm] y = A e^{\bruch{-3+\wurzel{5}}{2}x} + B e^{\bruch{-3-\wurzel{5}}{2}x} [/mm]
Bei den partikulären Lösungen bin ich mir nicht sicher. Wäre jetzt an Stelle des sin ein Polynom würde ich auch den Ansatz über ein Polynom entsprechendem Exponenten verwenden. Nun habe ich für den sinus gegoogelt und einen Ansatz der Form [mm] y = C sin(x) + D cos(x) [/mm] gefunden. Ist das richtig? Wenn ich den benutze erhalte ich als partikuläre Lösung: [mm] y = -\bruch{1}{3} cos(x) [/mm]
Insgesamt erhalte ich die allgemeine Lösung durch Addition der homogenen und partikulären Lösung.
Meine Dimension des Lösungsraumes ist 2.
Schreibe ich die DGL in ein System 1. Ordnung erhalte ich mit a= y und b=y':
[mm] \vektor{a \\ b}' = \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & -3 } \vektor{a \\ b} + \vektor{0 \\ sin(x)} [/mm]
Berechne ich die Eigenwerte meiner Matrix erhalte ich oh Wunder :
[mm] \lambda_{1/2} = - \bruch{-3 \pm \wurzel{5}}{2} [/mm]
Stationäre Punkte gibt es nur einen (0,0).
Wie kann ich eine Aussage darüber treffen, ob es sich um einen stabilen oder instabilen Punkt handelt?
Und wie weiß ich, wie die Lösung in den genannten Punkten aussieht? Setze ich die einfach ein? Und wie generell würde ein Phasenportrait aussehen?
Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Viele Grüße,
Katthi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Mi 05.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Betrachte folgende DGL [mm]y'' + 3y'+y=sin(x) [/mm]. Wie sehen die
> homogenen Lösungen aus?
Was sind denn "homogene" Lösungen ? Gemeint sind die Lösungen der homogenen Gleichung [mm]y'' + 3y'+y=0 [/mm]
> Wie berechnet man die
> partikulären Lösungen? Wie ist die Dimension des
> Lösungsraumes?
Gemeint ist wohl der Raum der Lösungen der homogenen Gleichung.
> Schreiben Sie die DGL in ein System 1.
> Ordnung um. Wie sehen die Eigenwerte aus? Was sind die
> stationären Punkte? Wie sieht die Lösung in den Punkten
> (0,1) und (0,-1) aus? Wohin läuft die Lösung in diesen
> Punkten?
> Hallo Leute,
>
> Ich sag euch erstmal was ich schon habe:
> Also die homogenen Lösungen habe ich durch den Ansatz mit
> der e-Funktion bestimmt und erhalte:
> [mm]y = A e^{\bruch{-3+\wurzel{5}}{2}x} + B e^{\bruch{-3-\wurzel{5}}{2}x}[/mm]
Ja. Das ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung.
>
> Bei den partikulären Lösungen bin ich mir nicht sicher.
> Wäre jetzt an Stelle des sin ein Polynom würde ich auch
> den Ansatz über ein Polynom entsprechendem Exponenten
> verwenden. Nun habe ich für den sinus gegoogelt und einen
> Ansatz der Form [mm]y = C sin(x) + D cos(x)[/mm] gefunden. Ist das
> richtig?
Ja
> Wenn ich den benutze erhalte ich als partikuläre
> Lösung: [mm]y = -\bruch{1}{3} cos(x)[/mm]
Ja, ds ist eine partikuliäre Lösung, wie Du durch nachrechnen rat-fatz feststellen kannst ( sowas nennt man "Probe machen")
> Insgesamt erhalte ich
> die allgemeine Lösung durch Addition der homogenen und
> partikulären Lösung.
Ja.
>
> Meine Dimension des Lösungsraumes ist 2.
Ja, aber es ist nicht Deine Dimension, oder gehört die Dir ?
>
> Schreibe ich die DGL in ein System 1. Ordnung erhalte ich
> mit a= y und b=y':
> [mm]\vektor{a \\ b}' = \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & -3 } \vektor{a \\ b} + \vektor{0 \\ sin(x)}[/mm]
> Berechne ich die Eigenwerte meiner Matrix erhalte ich oh
> Wunder :
> [mm]\lambda_{1/2} = - \bruch{-3 \pm \wurzel{5}}{2}[/mm]
Donnerwetter, das ist aber erstaunlich !
>
> Stationäre Punkte gibt es nur einen (0,0).
Ja.
> Wie kann ich eine Aussage darüber treffen, ob es sich um
> einen stabilen oder instabilen Punkt handelt?
Da hattet Ihr in der Vorlesung sicher einen Satz. Die Eigenwerte obiger Matrix sind alle <0 ....
>
> Und wie weiß ich, wie die Lösung in den genannten Punkten
> aussieht? Setze ich die einfach ein?
Z.B. für (0,1) :bestimme diejenige Lösung y von $ y'' + 3y'+y=sin(x) $ mit
y(0)=0 und y'(0)=1.
> Und wie generell
> würde ein Phasenportrait aussehen?
Was meinst Du konkret ?
FRED
>
> Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
>
> Viele Grüße,
> Katthi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mi 05.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Hallo Fred,
mal wieder danke für deine schnelle Antwort.
Wenn ich die Eigenwerte der Matrix betrachte, dann sehe ich, dass beide kleiner Null aber reell sind. Das bedeutet es liegt ein stabiler Knoten vor. Ich war mir nicht sicher, ob man das auch anwenden kann, wenn ich noch den inhomogenen Teil mit drin stehen habe, weil ich den sinus ja nun garnicht beachte.
Die Lösung für (0,1) liefert mir [mm] y= -\bruch{3}{2}x^2+x [/mm]
Mit dem Phasenportrait meine ich, dass ich ja jetzt weiß, dass ich einen stabilen Knoten habe, deren Form wir auch im Skript haben. Die beiden Punkte die ich gegeben habe, sind ja in der Nähe meines Knotens. Die Lösungen geben mir dann ja in irgendeiner Form an, in welche Richtung die Pfeile des Phasenportraits zeigen müssen. Aber wie genau komme ich kann ich dies nun zeichnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mi 05.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du denn auf die Lösung, das ist doch keine Lösung der Dgl, die hattest du doch. setz in die Lösung und ihre Ableitung t=0 ein und bestimme daraus A und B.
du kannst dich einfach dein System 1. ordnung nehmen und die richtungspfeile daraus ablesen.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 05.03.2014 | | Autor: | Katthi |
ähm ja :D
Ich erhalte: [mm] A = \bruch{1}{3} \bruch{-9+\wurzel{5}}{6 \wurzel{5}} [/mm] und [mm] B = \bruch{-9+\wurzel{5}}{6 \wurzel{5}} [/mm]
Wie genau lese ich denn da die Richtungspfeile ab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Mi 05.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
für x=0 hab ich A+B-1/3=0 das stimmt nicht mit deinen A,B überein.
2. ein Phasenporträt kannst du nicht machen, da es von x abhängt, das geht nur für die homogene oder für festes x. dann zeichnest du in ein a,b Koordinatennetz, die Richtung von (a,b) ein , also (a,b)'
da beide Exponenten negativ sind laufen alle Kurven im Phasenraum auf den Kreis -1/3cos(x)-1/3sin(x) zu, alle Lösungskurven auf die partikuläre Lösung.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Do 06.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Danke für deine Hilfe,
ja das hab ich auch raus, dann hab ich mich wohl bei der Ableitung verrechnet und deshalb so hässliche Werte für A und B raus.
LG Katthi
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