inhomogene Diff < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Di 05.06.2007 | | Autor: | maths77 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo!
ich soll folgende inhomogene diffgl lösen. steck aber wieder mal fest... [mm] xy''+2y'-xy=e^x
[/mm]
also dazu muss ich ja erst mal das homogene system lösen und dann ne partikuläre lösung finden oder?
gut, also. dann hätt ich für den ansatz y(x)=e^ax
[mm] (a^2+\bruch{2}{x}a-1)=0
[/mm]
[mm] a_{1},a_{2}=-\bruch{1}{x}\pm\wurzel{\bruch{1}{x^2}+1}
[/mm]
aber wie mach i jetzt weiter? i weiß sehr dumme frage... aber mit wurzeln weiterrechnen? krieg ja [mm] 1\pm [/mm] ix unter der wurzel... hm... oder mach i da jetzt nen blödsinn...
als ergebnis soll kommen [mm] y_{1}=\bruch{e^x}{x}
[/mm]
und [mm] y_{2}=\bruch{e^-x}{x}
[/mm]
angenommen ich hab das, wie komm ich dann auf die partikuläre lösung?
mit lagrange und seiner variation der konstanten? also mit dem ansatz
[mm] p(x)=C_{1}(x)y_{1}(x)+C_{2}(x)y_{2}(x) [/mm] und den nebenbedingungen, dass [mm] C_{1}'y_{1}+C_{2}'y_{2}=0 [/mm] und [mm] C_{1}'y_{1}'+C_{2}'y_{2}'=e^x
[/mm]
steh irgendwie an... könnt ihr mir bitte helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 Di 05.06.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm]xy''+2y'-xy=e^x[/mm]
ist eine inhomogene DGL aber keine lineare mit konst. Koeff.!!!, Aber:
da ja [mm](xy)''=xy''+2y'[/mm] gilt
formt sich die DGL zu
[mm](xy)''-xy=e^x[/mm] um
Substitution z(x) = x.y(x) ergibt die nunmehrige DGL
[mm]z''-z=e^x[/mm]
jetzt ist das eine lin. inhom. DGL mit konst. Koeff., die du mit den bekannten Werkzeugen attackieren kannst...
homogene:
[mm]z''-z=0[/mm]
Lösung der homogenen: [mm]Ae^x+Be^{-x}[/mm]
Die Partik. Lösung durch Var. der Konstanten bekommst du:(schnell gerechnet - ohne Gewähr)
[mm]B''-2B'=0[/mm]
[mm]A''+2A'=1[/mm]
daraus [mm]B(x)=C[/mm] mit einer konst. C
und mit [mm] A=\bruch{x}{2}+D[/mm] mit einer konst. D
Daher f.
[mm]z(x)=\bruch{x}{2}e^x+D*e^x+C*e^{-x}[/mm]
oder daher f. y(x)
[mm]y(x)=\bruch{e^x}{2}+\bruch{D}{x}*e^{x}+\bruch{C}{x}*e^{-x}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Di 05.06.2007 | | Autor: | maths77 |
vielen dank, das erklärt zumindest mal meinen anfänglichen fehler...
wie kommst du dann auf
B''-2B'=0
A''+2A=1
das würd mi no interessieren...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Di 05.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Variation der Konstanten.
> B''-2B'=0
> A''+2A=1
falsch abgeschrieben ! A''+2A'=1
du hast doch erwähnt, dass du das kannst?!
rechne einfach mal stur, es ist einfach!
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Di 05.06.2007 | | Autor: | maths77 |
ja super, danke, habs, hast recht, nur stur rechnen... auch wenn i ned genau die zeilen hab, aber i komm auf die lösung  danke
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