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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - inhomogene lineare Dgl
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inhomogene lineare Dgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Do 29.10.2009
Autor: Zweiti

Aufgabe
Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der folgenden inhomogenen linearen Dgl: [mm] x^{III}-3x^{II}+3x^{I}-x=2e^{t} [/mm]

Hallo,

ich habe zuallerst den homogenen Teil betrachtet und dafür mein charakteristisches Polynom bestimmt. Das ist [mm] \lambda^{3}-3\lambda^{2}+3\lambda-1. [/mm] Damit ergibt sich ein dreifacher Eigenwert von [mm] \lambda=1. [/mm]
Das heißt meine homogene Lsg. sieht so aus: [mm] x_{hom}=c_1*e^x+c_2*x*e^x+c_3*x^2*e^x. [/mm]
Den Ansatz der speziellen Lsg. mache ich mit dem Störglied und wähle [mm] x_{spez.}=A*e^{t}. [/mm] Wenn ich dieses nun ableite und in die ursprüngliche Glgl. einsetze um A zu bestimmen, erhalte ich als Lsg. [mm] 0=2*e^{t}. [/mm]
Was mache ich falsch, ist mein Ansatz falsch gewählt?

Danke und Grüße
Britta

Ich habe die Frage nur in diesem Forum gestellt.

        
Bezug
inhomogene lineare Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Do 29.10.2009
Autor: MathePower

Hallo Zweiti,

> Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der folgenden
> inhomogenen linearen Dgl: [mm]x^{III}-3x^{II}+3x^{I}-x=2e^{t}[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich habe zuallerst den homogenen Teil betrachtet und dafür
> mein charakteristisches Polynom bestimmt. Das ist
> [mm]\lambda^{3}-3\lambda^{2}+3\lambda-1.[/mm] Damit ergibt sich ein
> dreifacher Eigenwert von [mm]\lambda=1.[/mm]
> Das heißt meine homogene Lsg. sieht so aus:
> [mm]x_{hom}=c_1*e^x+c_2*x*e^x+c_3*x^2*e^x.[/mm]
>  Den Ansatz der speziellen Lsg. mache ich mit dem
> Störglied und wähle [mm]x_{spez.}=A*e^{t}.[/mm] Wenn ich dieses
> nun ableite und in die ursprüngliche Glgl. einsetze um A
> zu bestimmen, erhalte ich als Lsg. [mm]0=2*e^{t}.[/mm]
>  Was mache ich falsch, ist mein Ansatz falsch gewählt?


Da das Störglied ein Teil der homogenen Lösung der DGL ist,
und der Eigenwert 1 die Vielfachheit 3 besitzt, ist Dein Ansatz
mit [mm]t^{3}[/mm] zu multiplizieren: [mm]x_{spez.}=A*t^{3}*e^{t}[/mm]


>  
> Danke und Grüße
>  Britta
>  
> Ich habe die Frage nur in diesem Forum gestellt.


Gruss
MathePower

Bezug
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