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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - inhomogene lineare Different.
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inhomogene lineare Different.: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:50 Sa 17.07.2010
Autor: capablanca

Aufgabe
Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen y(x) der folgenden Differentialgleichungen:

[mm] y'-y/x=2x^2 [/mm]

Hallo, ich kann die Aufgabe leider nicht komplett lösen und würde mich über Tipps freuen.

Mein Ansatz:

Zunaechst die zugehoerige homogene Differentialgleichung durch Trennung der Variablen lösen:

[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] - [mm] \bruch{y}{x} [/mm] = 0
->
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{y}{x} [/mm]
->
[mm] \bruch{dy}{y}=\bruch{dx}{x} [/mm]
->
[mm] \integral\bruch{dy}{y}=\integral\bruch{dx}{x} [/mm]
->
ln|y|=ln|x|+ln|K|

Die allgemeine Loesung der homogenen Gleichung lautet somit nach Entlogarithmierung:

[mm] y_0=x+K [/mm]

Die inhomogene Differentialgleichung wird durch Variation der Konstanten gelöst:
(K->K(x))
->
y=x+K(x)
->
y'=1+K'(x)

in die inhomogene Differentialgleichung einsetzen:
[mm] 1+K'(x)=2x^2 [/mm]

Ab hier folgt die unbestimmte Integration.


Ist alles soweit richtig?


gruß capablanca



        
Bezug
inhomogene lineare Different.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Sa 17.07.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Alex,

> Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen y(x) der folgenden
> Differentialgleichungen:
>  
> [mm]y'-y/x=2x^2[/mm]
>  Hallo, ich kann die Aufgabe leider nicht komplett lösen
> und würde mich über Tipps freuen.
>  
> Mein Ansatz:
>  
> Zunaechst die zugehoerige homogene Differentialgleichung
> durch Trennung der Variablen lösen: [ok]
>  
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] - [mm]\bruch{y}{x}[/mm] = 0
>  ->
>  [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{y}{x}[/mm]
>  ->
>  [mm]\bruch{dy}{y}=\bruch{dx}{x}[/mm]
>  ->
>  [mm]\integral\bruch{dy}{y}=\integral\bruch{dx}{x}[/mm] [ok]
>  ->
>  ln|y|=ln|x|+ln|K|

Hmm, wieso nennst du die Integrationskonstante [mm] $\ln|K|$ [/mm] und nicht $c$ ?




>  
> Die allgemeine Loesung der homogenen Gleichung lautet somit
> nach Entlogarithmierung:
>  
> [mm]y_0=x+K[/mm] [notok]

[mm] $e^{a+b}=e^{a}\cdot{}e^b$ [/mm] !!

Also mit [mm] $\ln(y)=ln(x)+c$ [/mm] dann [mm] $y=e^{\ln(x)+c}=e^{\ln(x)}\cdot{}\underbrace{e^c}_{:=K}=K\cdot{}x$ [/mm]

Damit dann nochmal Variation der Konstanten.

Es ergibt sich eine recht simple Lösung!

>  
> Die inhomogene Differentialgleichung wird durch Variation
> der Konstanten gelöst:
>  (K->K(x))
>  ->
>  y=x+K(x)
>  ->
>  y'=1+K'(x)
>  
> in die inhomogene Differentialgleichung einsetzen:
>  [mm]1+K'(x)=2x^2[/mm]
>  
> Ab hier folgt die unbestimmte Integration.
>  
>
> Ist alles soweit richtig?
>  
>
> gruß capablanca
>  


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
inhomogene lineare Different.: Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:11 Mo 19.07.2010
Autor: capablanca

Danke für den Hinweis, also die Lösung:

y=K*x

Die inhomogene Differentialgleichung wird durch Variation der Konstanten gelöst.
->
y=K(x)*x
->
mit Produktregel:
y'=K(x)*1+K'(x)*x

Alles in die homogene Gleichung einsetzen y'-y/x=0:
->

[mm] \underbrace{K(x)+K'(x)*x}_{=y'}-\underbrace{K(x)*x}_{=y}/x [/mm]
->
[mm] K'(x)*x=2x^2 [/mm]
->
K'(x)=2x
->
[mm] K(x)=\integral2x*dx [/mm]
->
[mm] K(x)=x^2+C [/mm]
->
Jetzt die Lösung von K(x) [mm] also"x^2+C" [/mm] noch mal in die Gleichung "y=K(x)*x" für K(x) einsetzen:
->
[mm] y=(x^2+C)*x [/mm]


Lösung:
->
[mm] y=x^3+Cx [/mm]

ist die Lösung korrekt?

gruß

Bezug
                        
Bezug
inhomogene lineare Different.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Mo 19.07.2010
Autor: Herby

Hallo Capablanca,

dein Ergebnis stimmt [daumenhoch]


LG
Herby


Bezug
                                
Bezug
inhomogene lineare Different.: danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:15 Mo 19.07.2010
Autor: capablanca

Danke!
Bezug
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