inhomogenes Diff.gleichungssys < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Jette87 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Also a) und b) sind kein Problem.
Eigenwerte: 3 und -5
Eigenvektoren:
zu Eigenwert 3: [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = t * [mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm] -> der Einfachheit halber nur [mm] \vektor{3 \\ 2}
[/mm]
zu Eigenwert: -5 [mm] \vektor{1 \\ -2}
[/mm]
b) [mm] \vektor{ Y1(x) \\ Y2(x)} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2} *e^{3x} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ -2} [/mm] * [mm] e^{-5x}
[/mm]
So die Probe davon:
[mm] \vektor{ Y1'(x) \\ Y2'(x)} [/mm] = 3* [mm] \vektor{3 \\ 2} *e^{3x} [/mm] -5* [mm] \vektor{1 \\ -2} [/mm] * [mm] e^{-5x}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 4 & -3 } [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 2} *e^{3x} [/mm] + [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 4 & -3 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -2} [/mm] * [mm] e^{-5x}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 4 & -3 } [\vektor{3 \\ 2} *e^{3x} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ -2} [/mm] * [mm] e^{-5x}]
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 4 & -3 } [/mm] * [mm] \vektor{ Y1(x) \\ Y2(x)} [/mm]
richtig so?
und bei c) hört es dann bei mir auf... Kann mir da jemand weiterhelfen? Vielen Dank!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Fr 14.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jette
c( du musst nur den Ansatz differenzieren, in die Dgl einsetzen, und dann a,b,c,d durch Koeffizientenvergleich bestimmen. Das ist alles!
Allerdings musst du zu der so gefundenen Lösung die allgemeine Lösg der homogenen Dgl, also mit den"t" addieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Jette87 |
| Aufgabe | | gleiche Aufgabenstellung |
> Hallo Jette
> c( du musst nur den Ansatz differenzieren, in die Dgl
> einsetzen, und dann a,b,c,d durch Koeffizientenvergleich
> bestimmen. Das ist alles!
> Allerdings musst du zu der so gefundenen Lösung die
> allgemeine Lösg der homogenen Dgl, also mit den"t"
> addieren.
> Gruss leduart
>
Heißt das dann:
[mm] \vektor{a \\ c} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 4 & -3 } [/mm] + [mm] \pmat{ ax & b \\ cx & d } [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 2x} [/mm] ???
Und wenn ja, ergibt sich dann:
a= ax+b +3cx + 3d +1
c= cx +d +2x
weil das irgendwie komisch aussieht!
Vielen Dank schon mal für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Fr 14.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jette
> gleiche Aufgabenstellung
>
> Heißt das dann:
>
> [mm]\vektor{a \\ c}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 4 & -3 }[/mm] + [mm]\pmat{ ax & b \\ cx & d }[/mm]
nur Y(x) ist doch ein Vektor keine Matrix: also
[mm]\vektor{a \\ c} = \pmat{ 1 & 3 \\ 4 & -3 }* \vektor{ ax + b \\ cx + d }+\vektor{1 \\ 2x}[/mm]
> Und wenn ja, ergibt sich dann:
>
> a= ax+b +3cx + 3d +1
> c= cx +d +2x
so falsch, aber so ähnlich. Alles auf eine Seite =0 . Dann muss alles was ohne x ist zusammen 0 geben, alles mit x zusammen 0 das ergibt 4 Gleichg für die 4 Unbekannten a,b,c,d
das nennt man Koeffizientenvergleich!
Find schnell die Lösg und viele Eier
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 So 16.04.2006 | | Autor: | Jette87 |
| Aufgabe | | gleiche Aufgabenstellung |
> Hallo Jette
> > gleiche Aufgabenstellung
> >
> > Heißt das dann:
> >
> > [mm]\vektor{a \\ c}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 4 & -3 }[/mm] + [mm]\pmat{ ax & b \\ cx & d }[/mm]
> nur Y(x) ist doch ein Vektor keine Matrix: also
> [mm]\vektor{a \\ c} = \pmat{ 1 & 3 \\ 4 & -3 }* \vektor{ ax + b \\ cx + d }+\vektor{1 \\ 2x}[/mm]
> > Und wenn ja, ergibt sich dann:
> >
> > a= ax+b +3cx + 3d +1
> > c= cx +d +2x
> so falsch, aber so ähnlich. Alles auf eine Seite =0 . Dann
> muss alles was ohne x ist zusammen 0 geben, alles mit x
> zusammen 0 das ergibt 4 Gleichg für die 4 Unbekannten
> a,b,c,d
> das nennt man Koeffizientenvergleich!
> Find schnell die Lösg und viele Eier
> Gruss leduart
Ähm...
also ich soll alle x auf eine Seite bringen und alles andere auf die andere Seite...
Dann habe ich doch aber 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten... (5 sogar,wenn man x mitzählt...)
ax+3cx = a-b-3d-1
-> x= [mm] \bruch{a-b-3d-1}{a+3c}
[/mm]
und aus der 1. Gleichung:
cx+2x=d-c
-> x= [mm] \bruch{d-c}{c+2}
[/mm]
oder was meinst du?
Vielen Dank und dir auch noch frohe Ostern!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 So 16.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jette
Kennst du das Wort Koeffizientenvergleich nicht?
> > > a= ax+b +3cx + 3d +1
> > > c= cx +d +2x
> > so falsch, aber so ähnlich. Alles auf eine Seite =0 .
> Dann
> > muss alles was ohne x ist zusammen 0 geben, alles mit x
> > zusammen 0 das ergibt 4 Gleichg für die 4 Unbekannten
> > a,b,c,d
> > das nennt man Koeffizientenvergleich!
> > Find schnell die Lösg und viele Eier
> > Gruss leduart
>
> Ähm...
> also ich soll alle x auf eine Seite bringen und alles
> andere auf die andere Seite...
> Dann habe ich doch aber 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten...
> (5 sogar,wenn man x mitzählt...)
>
> ax+3cx = a-b-3d-1
x*(a+3c)-(a-b-3d-1)=0 gilt unabhängig von x nur wenn beide Klammern Null sind also:
a+3c = 0 und
a-b-3d-1=0
entsprechend mit der zweiten Gleichung.
dann hast du 4 Gleichungen!
Ich hab jetzt nicht mehr kontrolliert, ob die Gleichungen selbst richtig sind, in deinem letzte post waren sie noch falsch, ich hab dort geschrieben warum!
also den Ansatz Vektor Y(x) und Vektor Y'(x) in Dgl einsetzen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 So 16.04.2006 | | Autor: | Jette87 |
| Aufgabe | | gleiche Aufgabenstellung |
> Hallo Jette
> Kennst du das Wort Koeffizientenvergleich nicht?
>
>
> > > > a= ax+b +3cx + 3d +1
> > > > c= cx +d +2x
> > > so falsch, aber so ähnlich. Alles auf eine Seite =0
> .
> > Dann
> > > muss alles was ohne x ist zusammen 0 geben, alles mit x
> > > zusammen 0 das ergibt 4 Gleichg für die 4 Unbekannten
> > > a,b,c,d
> > > das nennt man Koeffizientenvergleich!
> > > Find schnell die Lösg und viele Eier
> > > Gruss leduart
> >
> > Ähm...
> > also ich soll alle x auf eine Seite bringen und alles
> > andere auf die andere Seite...
> > Dann habe ich doch aber 2 Gleichungen mit 4
> Unbekannten...
> > (5 sogar,wenn man x mitzählt...)
> >
> > ax+3cx = a-b-3d-1
> x*(a+3c)-(a-b-3d-1)=0 gilt unabhängig von x nur wenn
> beide Klammern Null sind also:
> a+3c = 0 und
> a-b-3d-1=0
>
> entsprechend mit der zweiten Gleichung.
> dann hast du 4 Gleichungen!
> Ich hab jetzt nicht mehr kontrolliert, ob die Gleichungen
> selbst richtig sind, in deinem letzte post waren sie noch
> falsch, ich hab dort geschrieben warum!
> also den Ansatz Vektor Y(x) und Vektor Y'(x) in Dgl
> einsetzen!
> Gruss leduart
>
Moment, aber [mm] \vektor{ax+b \\ cx+d} [/mm] ist doch ein Vektor! Und den muss ich mit der Matrix [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 4 & -3 } [/mm] multiplizieren, das bedeutet:
ax+b +3cx+3d und 4ax+4b-3cx-3d oder? (hatte mich nur bei dem 2. Term etwas geirrt, da lag vielleicht dein Problem mit meiner Antwort?? ;))
Ansonsten ist klar, was du meinst, danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 So 16.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jette
Wenn du deine alten postings ansiehst, fehlen da + Zeichen in Y(x) und + und * Zeichen sind falsch. Bitte guck dir nach längeren Formeln immer die Vorschau an, das hilft viel arbeit vermeiden.!
Jetzt scheints ok, hab aber nicht genau nachgerechnet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 So 16.04.2006 | | Autor: | Jette87 |
| Aufgabe | | gleiche Aufgabenstellung |
> Hallo Jette
> Wenn du deine alten postings ansiehst, fehlen da + Zeichen
> in Y(x) und + und * Zeichen sind falsch. Bitte guck dir
> nach längeren Formeln immer die Vorschau an, das hilft viel
> arbeit vermeiden.!
> Jetzt scheints ok, hab aber nicht genau nachgerechnet.
> Gruss leduart
Ja sorry, genau das war das Problem!!!
also ich hätte jetzt die Werte für a bis d raus! Aber dann muss ich die wohl in die DGL einsetzen und das addieren zu der homogenen Lösung? Das weiß ich noch nicht, was ich da machen soll, wir haben das einfach so noch nicht gemacht mit der inhomogenen Lösung, mit den Matrizen...
Danke nochmals!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 So 16.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jettte
Du hast doch , nachdemdu a.b.c.d hast einen Lösungsvektor der inhomogenen DGL.
Und du hattest am Anfang schon ne Lösung des homogenen Systems, du hast nur ne spezielle, und nicht die allgemeine (mit 2 freiwählbaren Konstanten) hingeschrieben.
Und jetzt einfach die allg Lösg des homogenen + die Lösg des Inhomogenen . das sind allses nur vektoren! kommem keine Matrizen mehr vor!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 So 16.04.2006 | | Autor: | Jette87 |
> Hallo Jettte
> Du hast doch , nachdemdu a.b.c.d hast einen Lösungsvektor
> der inhomogenen DGL.
> Und du hattest am Anfang schon ne Lösung des homogenen
> Systems, du hast nur ne spezielle, und nicht die allgemeine
> (mit 2 freiwählbaren Konstanten) hingeschrieben.
> Und jetzt einfach die allg Lösg des homogenen + die Lösg
> des Inhomogenen . das sind allses nur vektoren! kommem
> keine Matrizen mehr vor!
> Gruss leduart
Sorry, dass ich noch mal fragen muss, aber muss ich da jetzt einfach
$ [mm] \vektor{ Y1(x) \\ Y2(x)} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{3 \\ 2} \cdot{}e^{3x} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{1 \\ -2} [/mm] $ * $ [mm] e^{-5x} [/mm] $ + den vektor mit a bis d * e^ 3x und dann noch mal ^-5x schreiben oder einfach den vektor, den ich jetzt raus habe vor den ganzen term mit den vektoren und e^ (sodass die in Klammern stehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 16.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo jette
> > Hallo Jettte
> > Du hast doch , nachdemdu a.b.c.d hast einen
> Lösungsvektor
> > der inhomogenen DGL.
> > Und du hattest am Anfang schon ne Lösung des homogenen
> > Systems, du hast nur ne spezielle, und nicht die allgemeine
> > (mit 2 freiwählbaren Konstanten) hingeschrieben.
> > Und jetzt einfach die allg Lösg des homogenen + die
> Lösg
> > des Inhomogenen . das sind allses nur vektoren! kommem
> > keine Matrizen mehr vor!
> > Gruss leduart
>
> Sorry, dass ich noch mal fragen muss, aber muss ich da
> jetzt einfach
[mm]\vektor{ Y1(x) \\ Y2(x)}[/mm] = [mm]A*\vektor{3 \\ 2} \cdot{}e^{3x}[/mm] +
[mm]B*\vektor{1 \\ -2}[/mm] * [mm]e^{-5x}[/mm] + den vektor mit a bis d . und sonst nichts
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 So 16.04.2006 | | Autor: | Jette87 |
> Hallo jette
> > > Hallo Jettte
> > > Du hast doch , nachdemdu a.b.c.d hast einen
> > Lösungsvektor
> > > der inhomogenen DGL.
> > > Und du hattest am Anfang schon ne Lösung des
> homogenen
> > > Systems, du hast nur ne spezielle, und nicht die allgemeine
> > > (mit 2 freiwählbaren Konstanten) hingeschrieben.
> > > Und jetzt einfach die allg Lösg des homogenen + die
> > Lösg
> > > des Inhomogenen . das sind allses nur vektoren! kommem
> > > keine Matrizen mehr vor!
> > > Gruss leduart
> >
> > Sorry, dass ich noch mal fragen muss, aber muss ich da
> > jetzt einfach
> [mm]\vektor{ Y1(x) \\ Y2(x)}[/mm] = [mm]A*\vektor{3 \\ 2} \cdot{}e^{3x}[/mm]
> +
> [mm]B*\vektor{1 \\ -2}[/mm] * [mm]e^{-5x}[/mm] + den vektor mit a bis d . und
> sonst nichts
> Gruss leduart
>
Danke dir! Hatten wir wie gesagt, so nicht gemacht, nur mit normalen DGLs und auch nur einmal inhomogene! Naja, jetzt weiß ich es ja, wie es geht! Echt nett von dir!
Du kennst nicht zufällig eine Seite, auf der man dazu noch mal etwas nachlesen kann oder in einem Buch?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Jette87 |
| Aufgabe | | siehe Aufgabenstellung |
> Hallo jette
> > > Hallo Jettte
> > > Du hast doch , nachdemdu a.b.c.d hast einen
> > Lösungsvektor
> > > der inhomogenen DGL.
> > > Und du hattest am Anfang schon ne Lösung des
> homogenen
> > > Systems, du hast nur ne spezielle, und nicht die allgemeine
> > > (mit 2 freiwählbaren Konstanten) hingeschrieben.
> > > Und jetzt einfach die allg Lösg des homogenen + die
> > Lösg
> > > des Inhomogenen . das sind allses nur vektoren! kommem
> > > keine Matrizen mehr vor!
> > > Gruss leduart
> >
> > Sorry, dass ich noch mal fragen muss, aber muss ich da
> > jetzt einfach
> [mm]\vektor{ Y1(x) \\ Y2(x)}[/mm] = [mm]A*\vektor{3 \\ 2} \cdot{}e^{3x}[/mm]
> +
> [mm]B*\vektor{1 \\ -2}[/mm] * [mm]e^{-5x}[/mm] + den vektor mit a bis d . und
> sonst nichts
> Gruss leduart
>
Noch eine Frage, wie mache ich davon dann die Probe, also bei meinem ersten Thread habe ich ja eine Probe von dem homogenen Gleichungssystem gemacht, bei der ich mir auch nicht sicher bin. Brauch ich hier überhaupt eine Probe, ich denke schon...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mo 17.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jette
antwort dahinter.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mo 17.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jette
Wenn du alles richtig gerechnet hast ist eigentlich ne Probe unnötig!
Aber um Rechenfehler zu überprüfen kannst dus ja machen.
Allerdings geht es schneller alle Lösungen einzeln zu prüfen: 1. A=B=0 dann sollte die inhomogene Dgl stimmen.
2. die homogene, einmal mit A=0 dann mit B=0
Wenn das alles stimmt hast du wirklich die richtige allgemeine Losung gefunden! A und B werden dann bestimmt, wenn man Anfangsbedingungen hat, also Y(0) und Y'(0) angegeben werden. Aber das war ja nicht in der Aufgabe.
Deine Lösg. der homogenen hab ich überprüft, die ist richtig, deine Lösg der inhomogenen solltesst du vielleicht noch überprüfen
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Jette87 |
| Aufgabe | | gleiche Aufgabenstellung |
> Hallo Jette
> Wenn du alles richtig gerechnet hast ist eigentlich ne
> Probe unnötig!
> Aber um Rechenfehler zu überprüfen kannst dus ja machen.
> Allerdings geht es schneller alle Lösungen einzeln zu
> prüfen: 1. A=B=0 dann sollte die inhomogene Dgl stimmen.
> 2. die homogene, einmal mit A=0 dann mit B=0
> Wenn das alles stimmt hast du wirklich die richtige
> allgemeine Losung gefunden! A und B werden dann bestimmt,
> wenn man Anfangsbedingungen hat, also Y(0) und Y'(0)
> angegeben werden. Aber das war ja nicht in der Aufgabe.
> Deine Lösg. der homogenen hab ich überprüft, die ist
> richtig, deine Lösg der inhomogenen solltesst du vielleicht
> noch überprüfen
> Gruss leduart
>
Irgendwie stimmt da was nicht bei der Lösung :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Di 18.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jette
Was ist die Frage?
leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:53 Di 18.04.2006 | | Autor: | Jette87 |
Nein, entschuldige, ich hatte einfach den Wert von b mit dem von c vertauscht, ich Dussel!!! Hab ich mich doch nicht verrechnet!!!
Danke dir noch mal vielmals!
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