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| Aufgabe | Lösen Sie das folgende inhomogene System:
[mm] \bruch{dx}{dt}=x+y-8 [/mm] und [mm] \bruch{dy}{dt}=-4x+y+5
[/mm]
mit x(0)=-1, y(0)=3 |
Hi,
also das zugehörige homogene System habe ich gelöst, aber wie kann finde ich den Rest ?
In meinem Buch steht, dass das ganze über die Matrix mit den Eigenvektoren als Spaltenvektoren gemacht wird, allerdings wenn dort als Störfunktion eine Funktion in Abhängigkeit von t gegeben ist, hier ist es aber nur ein Vektor. Mag mir jemand auf die Sprünge helfen ?
Lg
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Hallo eXeQteR,
> Lösen Sie das folgende inhomogene System:
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> [mm]\bruch{dx}{dt}=x+y-8[/mm] und [mm]\bruch{dy}{dt}=-4x+y+5[/mm]
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> mit x(0)=-1, y(0)=3
> Hi,
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> also das zugehörige homogene System habe ich gelöst, aber
> wie kann finde ich den Rest ?
>
Nun, jetzt kannst Du die Variation der Konstanten anwenden,
um die partikuläre Lösung zu finden.
> In meinem Buch steht, dass das ganze über die Matrix mit
> den Eigenvektoren als Spaltenvektoren gemacht wird,
> allerdings wenn dort als Störfunktion eine Funktion in
> Abhängigkeit von t gegeben ist, hier ist es aber nur ein
> Vektor. Mag mir jemand auf die Sprünge helfen ?
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Hi,
kleines Frage-Antwort spielchen heute :)
Die Lösung ist ja (wie im anderen Post beschrieben) ein ziemlich fieser Ausdruck mit sin und cos und i's usw. Also nicht schön.
Die Variation der Konstanten ist mir bekannt, wie setze ich sie denn hier ein ?
Ich komme irgendwie nicht so richtig klar wenn ich ein system vorliegen habe. Kannst du vielleicht etwas genauer beschreiben, wie das hier funktioniert ?
lg
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Hallo eXeQteR,
> Hi,
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> kleines Frage-Antwort spielchen heute :)
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> Die Lösung ist ja (wie im anderen Post beschrieben) ein
> ziemlich fieser Ausdruck mit sin und cos und i's usw. Also
> nicht schön.
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> Die Variation der Konstanten ist mir bekannt, wie setze ich
> sie denn hier ein ?
>
> Ich komme irgendwie nicht so richtig klar wenn ich ein
> system vorliegen habe. Kannst du vielleicht etwas genauer
> beschreiben, wie das hier funktioniert ?
Nun, bei der Variation der Konstanten machst
Du zusätzlich die Konstanten von t abhängig.
Ist die Lösung des homogenen Systems gegeben durch
[mm]Y\left(t\right)=c_{1}*\vec{v}_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+c_{2}*\vec{v}_{2}*e^{\lambda_{2}*t}[/mm]
,wobei [mm]\vec{v}_{i}[/mm] Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda_{i}, \ i=1,2[/mm] ist.
Dann lautet der Ansatz für die partikuläre Lösung:
[mm]Y_{p}\left(t\right)=c_{1}\left(t\right)*\vec{v}_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+c_{2}\left(t\right)*\vec{v}_{2}*e^{\lambda_{2}*t}[/mm]
Diesen Ansatz setzt Du jetzt in das gegebene DGL-System ein.
Und bestimmmst aus dem entstehenden Gleichungssystem [mm]c_{1}\left(t\right), \ c_{2}\left(t\right)[/mm].
>
> lg
Gruss
MathePower
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