injektiv, surjektiv < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei $f: X [mm] \rightarrow [/mm] Y$ eine Abbildung.
1. Man zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind
(a) $f$ ist injektiv;
(b) [mm] $\forall [/mm] A [mm] \subset [/mm] X : [mm] f^{-1}(f(A)) [/mm] = A.$
2. Man zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind
(a) $f$ ist surjektiv;
(b) [mm] $\forall [/mm] B [mm] \subset [/mm] Y : [mm] f(f^{-1}(B)) [/mm] = B.$ |
Ich habe das Gefühl irgendwo einen Fehler gemacht zu haben, deshalb wär ich froh, wenn jemand meine Lösung korrigiert.
1. $f$ ist injektiv [mm] $\gdw \forall [/mm] A [mm] \subset [/mm] X : [mm] f^{-1}(f(A)) [/mm] = A$
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
[mm] $\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \exists_{1} [/mm] x [mm] \in [/mm] X : f(x) = y $
sei $x [mm] \in [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] f(A) = [mm] \{f(x) : x \in A\} \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1}(f(A)) [/mm] = [mm] \{ x \in X : f(x) \in f(A) \} \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1}(f(A)) \Rightarrow [/mm] A [mm] \subset f^{-1}(f(A))$
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
sei $x [mm] \in f^{-1}(f(A)) \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in f(f^{-1}(f(A))) \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(A)$
$f$ ist injektiv:
[mm] $\forall x_1, x_2$ \in [/mm] X [mm] (f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] x_2 \Rightarrow \forall [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(A) : x [mm] \in [/mm] A $
$f$ ist nicht injektiv:
[mm] $\forall x_1, x_2 \in [/mm] X $ : [mm] $(f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) \Rightarrow x_1 \not= x_2) \Rightarrow \forall [/mm] (f(x) [mm] \in [/mm] f(A) : x [mm] \in [/mm] X$ oder [mm] $\forall [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(A) : x [mm] \in [/mm] A$
$f(x) [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \underbrace{\gdw}_{injektiv} [/mm] x [mm] \in [/mm] A$
2. $f$ ist surjektiv [mm] $\gdw \forall [/mm] B [mm] \subset [/mm] Y : [mm] f(f^{-1}(B)) [/mm] = B $
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
$f(x) [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1}(B) \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in f(f^{-1}(B)$
[/mm]
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
$f(x) [mm] \in f(f^{-1}(B))$
[/mm]
1. $f$ ist surjektiv
[mm] $\forall [/mm] f(x) [mm] \in f(f^{-1}(B)) \exists_1 [/mm] x [mm] \in f^{-1}(B) \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] B$ mit $n [mm] \ge [/mm] 1, n [mm] \in \IN$
[/mm]
2. $f$ ist nicht surjektiv
[mm] $\not\forall [/mm] f(x) [mm] \in f(f^{-1}(B)) \exists [/mm] x [mm] \in f^{-1}(B) \Rightarrow [/mm] B [mm] \subset f(f^{-1}(B))$
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:20 Sa 26.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
