injektiv surjektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Di 01.02.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | Beh.
V ist ein [mm] \IK-VR, [/mm] f: V->V eine lineare injektive Abbildung, => f surjektiv |
die behauptung ist falsch, aber warum?
surjektiv heiß ja,
ass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat. hier ist es doch so, V wird mind. einmal auf V abgebildet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Di 01.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beh.
> V ist ein [mm]\IK-VR,[/mm] f: V->V eine lineare injektive
> Abbildung, => f surjektiv
> die behauptung ist falsch, aber warum?
Weil es Gegenbeispiele gibt !
Ist dim V < [mm] \infty, [/mm] so ist die Beh. allerdings richtig. Warum ?
Gegenbeispiele findest Du dann nur auf Räumen V mit dim V= [mm] \infty
[/mm]
Sei $V:= [mm] \{ (x_k): x_k \in \IR \}$, [/mm] also die Menge aller reellen Zahlenfolgen
V ist mit koordinatenweiser Addition und Skalarmultiplikation ein tadelloser Vektorraum über [mm] \IR
[/mm]
Definiere $f:V [mm] \to [/mm] V $ durch
[mm] $f(x_1,x_2,x_3,...):=(0,x_1,x_2,...)$
[/mm]
Zeige: f ist linear, f ist injektiv aber f ist nicht surjektiv
>
> surjektiv heiß ja,
> ass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als
> Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild
> hat. hier ist es doch so
was ist hier wo so ???
> , V wird mind. einmal auf V abgebildet.
Hä, was soll denn das bedeuten ??
FRED
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