injektiv surjektiv bijektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:38 Di 30.11.2010 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Gegeben sei A:= [mm] \pmat{1&-1&1&1\\-2&-1&-4&-1\\1&5&5&-1}, [/mm] betrachten wir die Abbildung [mm] P_{A} [/mm] : [mm] R^4 \to R^3, [/mm] x [mm] \to [/mm] Ax
Ist [mm] P_{A} [/mm] injektiv, surjektiv? |
So jetzt habe ich mir schon folgendes rausgesucht:
ist der Rang= Anzahl der Spalten der Matrix , so ist die zugehörige Abbildung injektiv,
ist der Rang= Anzahl der Zeilen der Matrix, so ist die zugehörige Abbildung surjektiv.
Bijektiv Rang=Anzahl der Spalten=Anzahl der Zeilen.
Also würde ich die Matrix jetzt auf ZSF bringen und somit den Rang erhalten.
Eine Sache irritiert mich jetzt aber noch, und zwar die Angaben zu der Abbildung. Muss ich da irgendwas beachten, wenn ich überprüfen möchte ob diese injektiv oder surjektiv ist???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Di 30.11.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Gegeben sei A:= [mm]\pmat{1&-1&1&1\\-2&-1&-4&-1\\1&5&5&-1},[/mm]
> betrachten wir die Abbildung [mm]P_{A}[/mm] : [mm]R^4 \to R^3,[/mm] x [mm]\to[/mm] Ax
> Ist [mm]P_{A}[/mm] injektiv, surjektiv?
>
> So jetzt habe ich mir schon folgendes rausgesucht:
> ist der Rang= Anzahl der Spalten der Matrix , so ist die
> zugehörige Abbildung injektiv,
>
> ist der Rang= Anzahl der Zeilen der Matrix, so ist die
> zugehörige Abbildung surjektiv.
>
> Bijektiv Rang=Anzahl der Spalten=Anzahl der Zeilen.
>
> Also würde ich die Matrix jetzt auf ZSF bringen und somit
> den Rang erhalten.
Guter Vorsatz! Kann die Abb. übrigens injektiv sein?
> Eine Sache irritiert mich jetzt aber noch, und zwar die
> Angaben zu der Abbildung. Muss ich da irgendwas beachten,
> wenn ich überprüfen möchte ob diese injektiv oder
> surjektiv ist???
Was ist denn da zu der Abb. angegeben? Nur, wie die Matrix und die Abbildung zusammenhängen. Aber das benutzt du doch genau so auch, du untersuchst die Matrix und machst eine Aussage über die Abbildung, die durch eben diese Matrix beschrieben wird. (Bei Wahl der kanonischen Basis.)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mi 01.12.2010 | | Autor: | sissenge |
Wenn ich jetzt richtig gerechnet habe kommt folgendes raus:
[mm] \pmat{1&-1&1&1\\0&1&2/3&-1/3\\0&0&0&0}
[/mm]
daraus folgt, dass die Abbildung weder surjektiv noch injektiv und damit auch nciht bijektiv ist, da der Rang =2 oder??? habe ich mich verrechnet??
Jetzt muss ich noch die Basis des KErn und des BIldes bestimmen.
Den Kern habe ich jetzt mal versucht zu bestimmen, in dem ich das Gleichungssystem Ax=0 gelöst habe.
dan kommt dann die gleiche matrix wie oben raus nur eben mit rechte Spalte =0.
wie bestimme ich jetzt die Basis davon??
Für das Bildhabe ich die transponierte Matrix genommen und in Zeilenstufen form gebracht. da erhalte ich dann folgende Matrix:
[mm] \pmat{1&-2&1\\0&0&0\\0&0&0\\0&1&-2}
[/mm]
Wie bekomme ich da die basis?
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> Wenn ich jetzt richtig gerechnet habe kommt folgendes
> raus:
>
> [mm]\pmat{\green{1}&-1&1&1\\
0&\green{1}&2/3&-1/3\\
0&0&0&0}[/mm]
>
> daraus folgt, dass die Abbildung weder surjektiv noch
> injektiv und damit auch nciht bijektiv ist, da der Rang =2
> oder??? habe ich mich verrechnet??
Hallo,
nein, es ist richtig.
Du weißt nun schon, daß die Dimension des Bildes 2 ist, woraus sich mit Hilfe dies passenden Sätzchens ergibt, daß auch die Dimension des Kerns =2 ist.
> Jetzt muss ich noch die Basis des KErn und des BIldes
> bestimmen.
Ja.
>
> Den Kern habe ich jetzt mal versucht zu bestimmen, in dem
> ich das Gleichungssystem Ax=0 gelöst habe.
> dan kommt dann die gleiche matrix wie oben raus nur eben
> mit rechte Spalte =0.
Ja.
>
> wie bestimme ich jetzt die Basis davon??
Indem Du das Gleichungssystem löst.
Die führenden Zeilenelemente stehen in Spalte 1 und 2.
Du kannst die dritte und vierte Variable frei wählen und erhältst:
[mm] x_4=t
[/mm]
[mm] x_3=s
[/mm]
[mm] x_2=-2/3s+1/3t
[/mm]
[mm] x_1= x_2-x_3-x_4= [/mm] ...
Nun schreibe das Ergebnis in der Form
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}= s*\vektor{...\\...\\...\\...}+t*\vektor{...\\...\\...\\...}.
[/mm]
Die beiden Vektoren sind eine Basis des Kerns.
>
> Für das Bildhabe ich die transponierte Matrix genommen und
> in Zeilenstufen form gebracht. da erhalte ich dann folgende
> Matrix:
> [mm]\pmat{1&-2&1\\
0&0&0\\
0&0&0\\
0&1&-2}[/mm]
>
> Wie bekomme ich da die basis?
Nachgerechnet habe ich es nicht.
Richtige Rechnung vorausgesetzt ist [mm] \vektor{1\\-2\\1}, \vektor{0\\1\\-2} [/mm] eine Basis des Bildes.
Gruß v. Angela
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