injektiv, surjektiv, bijektiv? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sind die Abbildungen f und g injektiv, surjektiv, bijektiv?
f: D-> [mm] \IR [/mm] , [mm] x|->\frac{3+2x}{1-x}
[/mm]
g: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , x|-> [mm] x^2*|x| [/mm] |
Hallo, hoffe ihr könnt mein Beispiel kontrollieren :)
f: 1.) zuerst habe ich die injektivität gezeigt:
f(a)=f(b)
[mm] \frac{3+2a}{1-a}=\frac{3+2b}{1-b}
[/mm]
3-3b+2a-2ab=3-3a+2b-2ab
a=b
Woraus Injektivität folgt
2.) Surjektivität:
[mm] y=\frac{3+2x}{1-x} [/mm] woraus folgt [mm] x=\frac{y-3}{2+y}
[/mm]
woraus Surjektivität und auch Bijektivität folgt.
g: 1.) Inj.: f(a)=f(b)
-> [mm] a^2*|a|=b^2*|b| [/mm] nach quadrieren folgt
[mm] a^6=b^6 [/mm] woraus wieder Injektivität folgt (jedoch ist [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] für [mm] x|->x^2 [/mm] nicht injektiv. gilt dies auch für meine funktion?)
2.) Surjektivität herrscht glaube ich nicht vor, da [mm] x^2 [/mm] (betrachte -1) nicht surjektiv ist, und die lösung der gleichung [mm] y=x^2*|x| [/mm] nach x auf 2 ergebnisse für x führt.
[mm] x1=-y^{1/3} [/mm] , [mm] x2=x=y^{1/3}
[/mm]
somit kann auch keine Bijektivität vorherrschen.
Wäre toll wenn ihr mal nen Blick drüber werfen könntet :)
LG Scherzkrapferl
|
|
| |
|
(jedoch ist [mm]\IR[/mm]
> -> [mm]\IR[/mm] für [mm]x|->x^2[/mm] nicht injektiv. gilt dies auch für
> meine funktion?)
Diesen Teil bitte ignorieren, habe es mit surjektivität verwechselt
|
|
|
| |
|
moin scherz,
Zur f:
Die Injektivität sieht gut aus.
Zur Surjektivität stellt sich die Frage, was genau dein D ist.
D könnte etwa die leere Menge sein, dann wird sicherlich nicht ganz [mm] $\IR$ [/mm] getroffen.^^
Zur g:
Du hast hier wohl irgendwas durcheinander gebracht.^^
Dein Gegenbeispiel bei Surjektivität ist ein Gegenbeispiel gegen Injektivität (injektiv = jeder Wert wird höchstens einmal getroffen).
Also Injektivität hast du jetzt widerlegt; Surjektivität fehlt noch... ;)
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
> Zur Surjektivität stellt sich die Frage, was genau dein D
> ist.
> D könnte etwa die leere Menge sein, dann wird sicherlich
> nicht ganz [mm]\IR[/mm] getroffen.^^
meinst du dass D [mm] \in \IR [/mm] ohne der Nullstellen also ohne (-3/2) und 1 ?! oder habe ich dich falsch verstanden ?
>
> Zur g:
>
> Du hast hier wohl irgendwas durcheinander gebracht.^^
> Dein Gegenbeispiel bei Surjektivität ist ein
> Gegenbeispiel gegen Injektivität (injektiv = jeder Wert
> wird höchstens einmal getroffen).
ah ok verstehe. habe einfach den ansatz für das zeigen der surjektivität angewendet um so zu sagen die injektivität zu widerlegen.
> Also Injektivität hast du jetzt widerlegt; Surjektivität
> fehlt noch... ;)
>
Surjektivität kann nicht sein da nicht alle werte von [mm] \IR [/mm] "getroffen" werden. Um Surjektivität zu "haben" müsste der bereich auf [mm] \IR ->\IR^+ [/mm] geändert werden ?! wie zeige ich dies am besten mathematisch ? mit einem graphen ist es kein problem. oder habe ich das alles falsch verstanden ?
LG Scherzkrapferl
|
|
|
| |
|
> meinst du dass D [mm]\in \IR[/mm] ohne der Nullstellen also ohne
> (-3/2) und 1 ?! oder habe ich dich falsch verstanden ?
ja, das ist eben die Frage, wie ist D definiert?
> Surjektivität kann nicht sein da nicht alle werte von [mm]\IR[/mm]
> "getroffen" werden. Um Surjektivität zu "haben" müsste
> der bereich auf [mm]\IR ->\IR^+[/mm] geändert werden ?! wie zeige
> ich dies am besten mathematisch ? mit einem graphen ist es
> kein problem. oder habe ich das alles falsch verstanden ?
Du weißt (hoffentlich), dass das Quadrat einer reellen Zahl immer [mm] $\geq$ [/mm] 0 ist.
Das selbe gilt für den Betrag.
Wenn du zwei Zahlen [mm] $\geq$ [/mm] 0 miteinander multiplizierst, kann dabei eine Zahl < 0 rauskommen?
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
> ja, das ist eben die Frage, wie ist D definiert?
In der Angabe leider gar nicht. Ich kann nur vermuten dass es sich um die reellen Zahlen handelt ^^
also nehme ich mal an dass die funktion surjektiv ist ?!
> > Surjektivität kann nicht sein da nicht alle werte von [mm]\IR[/mm]
> > "getroffen" werden. Um Surjektivität zu "haben" müsste
> > der bereich auf [mm]\IR ->\IR^+[/mm] geändert werden ?! wie zeige
> > ich dies am besten mathematisch ? mit einem graphen ist es
> > kein problem. oder habe ich das alles falsch verstanden ?
>
> Du weißt (hoffentlich), dass das Quadrat einer reellen
> Zahl immer [mm]\geq[/mm] 0 ist.
> Das selbe gilt für den Betrag.
> Wenn du zwei Zahlen [mm]\geq[/mm] 0 miteinander multiplizierst,
> kann dabei eine Zahl < 0 rauskommen?
>
natürlich kann keine zahl < 0 rauskommen ;) also schließe ich mal daraus dass meine antwort korrekt ist.
LG Scherzkrapferl
|
|
|
| |
|
Hallo Scherzkrapfl,
> > ja, das ist eben die Frage, wie ist D definiert?
>
> In der Angabe leider gar nicht. Ich kann nur vermuten dass
> es sich um die reellen Zahlen handelt ^^
Naja, wenn, dass [mm] $\mathbb{D}=\IR\setminus\{1\}$
[/mm]
Für $x=1$ ist der Funktionsterm nicht definiert...
> also nehme ich mal an dass die funktion surjektiv ist ?!
Hast du mal versucht, das rechnerisch zu zeigen?
Dann wirst du auf ein Problem stoßen.
Versuche mal zu bel. [mm] $y\in\IR$ [/mm] ein [mm] $x\in\IR, x\neq [/mm] 1$ anzugeben, so dass $f(x)=y$ ist.
Das Problem wirst du dann erkennen ...
>
> > > Surjektivität kann nicht sein da nicht alle werte von [mm]\IR[/mm]
> > > "getroffen" werden. Um Surjektivität zu "haben" müsste
> > > der bereich auf [mm]\IR ->\IR^+[/mm] geändert werden ?! wie zeige
> > > ich dies am besten mathematisch ? mit einem graphen ist es
> > > kein problem. oder habe ich das alles falsch verstanden ?
> >
> > Du weißt (hoffentlich), dass das Quadrat einer reellen
> > Zahl immer [mm]\geq[/mm] 0 ist.
> > Das selbe gilt für den Betrag.
> > Wenn du zwei Zahlen [mm]\geq[/mm] 0 miteinander multiplizierst,
> > kann dabei eine Zahl < 0 rauskommen?
> >
>
> natürlich kann keine zahl < 0 rauskommen ;) also schließe
> ich mal daraus dass meine antwort korrekt ist.
Hmm, ja. Also Surjektiv ist die Abbildung sicher nicht, denn neg. Zahen werden nicht getroffen.
Injektiv ist sie auch nicht, da hast du recht, aber gib doch einfach 2 veschiedene Elemente an, die auf dieselbe Zahl abgebidet werden, dann kannst du dich auch nicht in Begründungen verstricken 
Etwa [mm] $x_1=-1$ [/mm] und [mm] $x_2=1$ [/mm] sind verschieden, aber [mm] $g(x_1)=g(x_2)=1$
[/mm]
>
> LG Scherzkrapferl
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> > > ja, das ist eben die Frage, wie ist D definiert?
> >
> > In der Angabe leider gar nicht. Ich kann nur vermuten dass
> > es sich um die reellen Zahlen handelt ^^
>
> Naja, wenn, dass [mm]\mathbb{D}=\IR\setminus\{1\}[/mm]
>
> Für [mm]x=1[/mm] ist der Funktionsterm nicht definiert...
für (-3/2) und 1 der obere teil des bruches darf doch auch nicht 0 werden ?!
>
> > also nehme ich mal an dass die funktion surjektiv ist ?!
>
> Hast du mal versucht, das rechnerisch zu zeigen?
>
> Dann wirst du auf ein Problem stoßen.
>
> Versuche mal zu bel. [mm]y\in\IR[/mm] ein [mm]x\in\IR, x\neq 1[/mm]
> anzugeben, so dass [mm]f(x)=y[/mm] ist.
>
> Das Problem wirst du dann erkennen ...
habe jetzt die probe für die umkehrfunktion gemacht. normalerweise müsste dann ja wieder y rauskommen. bei mir wird f((y-3)/(2+x))=(3+2y)/(y-3) woraus ich schließe dass diese Funktion nicht surjektiv sein kann.
Ich hoffe dass ich es jetzt verstanden habe :)
>
> >
> > > > Surjektivität kann nicht sein da nicht alle werte von [mm]\IR[/mm]
> > > > "getroffen" werden. Um Surjektivität zu "haben" müsste
> > > > der bereich auf [mm]\IR ->\IR^+[/mm] geändert werden ?! wie zeige
> > > > ich dies am besten mathematisch ? mit einem graphen ist es
> > > > kein problem. oder habe ich das alles falsch verstanden ?
> > >
> > > Du weißt (hoffentlich), dass das Quadrat einer reellen
> > > Zahl immer [mm]\geq[/mm] 0 ist.
> > > Das selbe gilt für den Betrag.
> > > Wenn du zwei Zahlen [mm]\geq[/mm] 0 miteinander
> multiplizierst,
> > > kann dabei eine Zahl < 0 rauskommen?
> > >
> >
> > natürlich kann keine zahl < 0 rauskommen ;) also schließe
> > ich mal daraus dass meine antwort korrekt ist.
>
> Hmm, ja. Also Surjektiv ist die Abbildung sicher nicht,
> denn neg. Zahen werden nicht getroffen.
>
> Injektiv ist sie auch nicht, da hast du recht, aber gib
> doch einfach 2 veschiedene Elemente an, die auf dieselbe
> Zahl abgebidet werden, dann kannst du dich auch nicht in
> Begründungen verstricken
>
> Etwa [mm]x_1=-1[/mm] und [mm]x_2=1[/mm] sind verschieden, aber
> [mm]g(x_1)=g(x_2)=1[/mm]
>
Perfekt, genau nach so einer Möglichkeit habe ich gesucht :) vielen Dank !
LG Scherzkrapferl
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > > > ja, das ist eben die Frage, wie ist D definiert?
> > >
> > > In der Angabe leider gar nicht. Ich kann nur vermuten dass
> > > es sich um die reellen Zahlen handelt ^^
> >
> > Naja, wenn, dass [mm]\mathbb{D}=\IR\setminus\{1\}[/mm]
> >
> > Für [mm]x=1[/mm] ist der Funktionsterm nicht definiert...
>
> für (-3/2) und 1 der obere teil des bruches darf doch auch
> nicht 0 werden ?!
Wieso nicht? Wenn der Zähler =0 ist, so ist der Gesamtbruch =0, das ist doch nix Schlimmes. Böse sind nur Nullstellen des Nenners.
Also max. Definitionsbereich [mm] $\mathbb D=\IR\setminus\{1\}$
[/mm]
>
> >
> > > also nehme ich mal an dass die funktion surjektiv ist ?!
> >
> > Hast du mal versucht, das rechnerisch zu zeigen?
> >
> > Dann wirst du auf ein Problem stoßen.
> >
> > Versuche mal zu bel. [mm]y\in\IR[/mm] ein [mm]x\in\IR, x\neq 1[/mm]
> > anzugeben, so dass [mm]f(x)=y[/mm] ist.
> >
> > Das Problem wirst du dann erkennen ...
>
> habe jetzt die probe für die umkehrfunktion gemacht.
> normalerweise müsste dann ja wieder y rauskommen. bei mir
> wird f((y-3)/(2+x))=(3+2y)/(y-3) woraus ich schließe dass
> diese Funktion nicht surjektiv sein kann.
> Ich hoffe dass ich es jetzt verstanden habe :)
Leider habe ich nicht verstanden, was du da meinst, zumal sicher Tippfehler drin sind.
Wenn man mal [mm] $\frac{3+2x}{1-x}=y$ [/mm] nach $x$ auflöst, so gibt das
$3+2x=y(1-x)=y-xy$, also $(2+y)x=y-3$
Nun muss man durch $2+y$ teilen, was nur für [mm] $y\neq [/mm] -2$ erlaubt ist.
Für [mm] $y\neq [/mm] -2$ hat man daher ein [mm] $x\in\IR, x\neq [/mm] 1$, nämlich [mm] $x=\frac{y-3}{2+y}$, [/mm] für das $f(x)=y$ gilt
Was ist aber mit $y=-2$? Kannst du dafür ein [mm] $x\neq [/mm] 1$ finden mit $f(x)=-2$ ?
> > Etwa [mm]x_1=-1[/mm] und [mm]x_2=1[/mm] sind verschieden, aber
> > [mm]g(x_1)=g(x_2)=1[/mm]
> >
>
> Perfekt, genau nach so einer Möglichkeit habe ich gesucht
> :) vielen Dank !
>
> LG Scherzkrapferl
>
Charmanten Abend
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> Wieso nicht? Wenn der Zähler =0 ist, so ist der
> Gesamtbruch =0, das ist doch nix Schlimmes. Böse sind nur
> Nullstellen des Nenners.
>
Denkfehler ^^ vielen Dank
> > habe jetzt die probe für die umkehrfunktion gemacht.
> > normalerweise müsste dann ja wieder y rauskommen. bei mir
> > wird f((y-3)/(2+x))=(3+2y)/(y-3) woraus ich schließe dass
> > diese Funktion nicht surjektiv sein kann.
> > Ich hoffe dass ich es jetzt verstanden habe :)
>
> Leider habe ich nicht verstanden, was du da meinst, zumal
> sicher Tippfehler drin sind.
>
> Wenn man mal [mm]\frac{3+2x}{1-x}=y[/mm] nach [mm]x[/mm] auflöst, so gibt
> das
>
> [mm]3+2x=y(1-x)=y-xy[/mm], also [mm](2+y)x=y-3[/mm]
>
> Nun muss man durch [mm]2+y[/mm] teilen, was nur für [mm]y\neq -2[/mm]
> erlaubt ist.
>
> Für [mm]y\neq -2[/mm] hat man daher ein [mm]x\in\IR, x\neq 1[/mm], nämlich
> [mm]x=\frac{y-3}{2+y}[/mm], für das [mm]f(x)=y[/mm] gilt
>
> Was ist aber mit [mm]y=-2[/mm]? Kannst du dafür ein [mm]x\neq 1[/mm] finden
> mit [mm]f(x)=-2[/mm] ?
Funktion sollte eigentlich lauten:
f((y-3)/(2+y))=(3+2((y-3)/(2+y)))/(1-((y-3)/(2+y)))=y (hatte tippfehler und mich verrechnet -.-')
Meine Idee war, dass ich eben die umkehrfunktion x=(y-3)/(2+y) bilde und sie dann für x in meine funktion (3+2x)/(1-x) einsetze um zu sehen ob y herraus kommt. - Also mache ich doch die Probe. Mein Gedanke war, dass wenn ich bei der Probe y erhalte muss die Funktion surjektiv sein.
-> also ist die Funktion in diesem fall DOCH surjektiv ^^
LG Scherzkrapferl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 02.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
beispiel gelöst und verstanden.
vielen dank für eure hilfe und geduld :)
LG euer scherzkrapferl
|
|
|
|
