injektiv surjektiv span < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Di 26.08.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm]\Phi:V \to W [/mm] sei eine lineare Abbildung zwischen R-Vektorräumen V,W. Zeigen Sie:
a) [mm]\Phi[/mm] ist genau dann injektiv, wenn gilt: Sind die Vektoren [mm] v_1, ... ,v_r \in V[/mm] linear unabhängig, so sind auch die Bildvektoren [mm]\Phi(v_1),...,\Phi(v_r) \in W [/mm] linear unabhängig
b) Spannen [mm]v_1,...,v_r[/mm] den Raum V auf, dann spannen [mm]\Phi(v_1),...,\Phi(v_r)[/mm] Bild [mm]\Phi[/mm] auf.
c) [mm]\Phi[/mm] ist genau dann surjektiv, wenn gilt: Spannen die Vektoren [mm]v_1,...,v_r[/mm] den Raum V auf, so spannen ihre Bilder [mm]\Phi(v_1),...,\Phi(v_r)[/mm] den Raum W auf
zu a)
-> [mm]\Phi(v_i)=\Phi(v_j)[/mm] so muss i=j sein, dies bedeutet es gibt nur [mm]c_1=...=c_r=0[/mm] mit [mm]\summe_{i=1}^{r}c_i\Phi(v_i)=0[/mm] da die Abbildung linear ist folgt: [mm]\summe_{i=1}^{r}c_i\Phi(v_i)=\summe_{i=1}^{r}\Phi(c_iv_i)=\Phi \summe_{i=1}^{r}(c_iv_i)=0[/mm] bei linearen Abbildungen gilt [mm]\Phi(0)=0[/mm] somit kann es für [mm] \summe_{i=1}^{r}(c_iv_i)=0[/mm] auch nur die triviale Lösung geben!
<- so gibt es insbesondere kein [mm]v_i=v_j[/mm] mit [mm]i\not= j[/mm] und auch kein solches Bild [mm]\Phi(v_i)=\Phi(v_j)[/mm] mit [mm]i\not= j[/mm] daraus folgt dass [mm] \Phi [/mm] injektiv ist
in Ordnung so?
zu b)
jedes [mm]v \in V[/mm] kann also erzeugt werden aus [mm]v = \summe_{i=1}^{r}x_iv_i[/mm] dann ist aber wegen der Liniarität jedes Bild erzeugbar durch [mm]\Phi v = \Phi \summe_{i=1}^{r}x_iv_i = \summe_{i=1}^{r}\Phi x_iv_i = \summe_{i=1}^{r} x_i \Phi v_i[/mm]
auch ok?
zu c)
-> es gibt also zu jedem [mm]w \in W[/mm] gibt es also ein [mm]\Phi(v) = w[/mm] mit [mm]v \in V[/mm] dies muss also erzeugt sein aus [mm],\summe_{i=1}^{r}x_i\Phi(v_i)[/mm] wenn [mm]\Phi(v_1),...,\Phi(v_r) [/mm] W aufspannen
also ist jedes w darstellbar als [mm]\Phi v = \Phi \summe_{i=1}^{r}x_iv_i [/mm] also jedes [mm] v = \summe_{i=1}^{r}x_iv_i [/mm]
<- spannen die Vektoren den Raum V auf, so spannen die Bilder nach b) den Raum Bild [mm] \Phi [/mm] auf, da dies W ist gibt es also zu jedem w midestens ein Urbild v
fehlt da noch irgendwas ist es "dicht"
danke gruß
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> Hallo,
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> [mm]\Phi:V \to W[/mm] sei eine lineare Abbildung zwischen
> R-Vektorräumen V,W. Zeigen Sie:
>
> a) [mm]\Phi[/mm] ist genau dann injektiv, wenn gilt: Sind die
> Vektoren [mm]v_1, ... ,v_r \in V[/mm] linear unabhängig, so sind
> auch die Bildvektoren [mm]\Phi(v_1),...,\Phi(v_r) \in W[/mm] linear
> unabhängig
>
> b) Spannen [mm]v_1,...,v_r[/mm] den Raum V auf, dann spannen
> [mm]\Phi(v_1),...,\Phi(v_r)[/mm] Bild [mm]\Phi[/mm] auf.
>
> c) [mm]\Phi[/mm] ist genau dann surjektiv, wenn gilt: Spannen die
> Vektoren [mm]v_1,...,v_r[/mm] den Raum V auf, so spannen ihre Bilder
> [mm]\Phi(v_1),...,\Phi(v_r)[/mm] den Raum W auf
>
> zu a)
>
> -> [mm]\Phi(v_i)=\Phi(v_j)[/mm] so muss i=j sein, dies bedeutet Wieso bedeutet dies das Folgende? es
> gibt nur [mm]c_1=...=c_r=0[/mm] mit [mm]\summe_{i=1}^{r}c_i\Phi(v_i)=0[/mm]
Hier taucht doch nirgendwo [mm] \Phi(v_i)=\Phi(v_j) [/mm] oder [mm] \Phi(v_i)\not=\Phi(v_j) [/mm] auf
> da die Abbildung linear ist folgt:
> [mm]\summe_{i=1}^{r}c_i\Phi(v_i)=\summe_{i=1}^{r}\Phi(c_iv_i)=\Phi \summe_{i=1}^{r}(c_iv_i)=0[/mm]
> bei linearen Abbildungen gilt [mm]\Phi(0)=0[/mm] somit wieso gilt nun dieses "somit"? kann es für
> [mm]\summe_{i=1}^{r}(c_iv_i)=0[/mm] auch nur die triviale Lösung
> geben!
>
> <- so gibt es insbesondere kein [mm]v_i=v_j[/mm] mit [mm]i\not= j[/mm] und
> auch kein solches Bild [mm]\Phi(v_i)=\Phi(v_j)[/mm] mit [mm]i\not= j[/mm]
> daraus folgt dass [mm]\Phi[/mm] injektiv ist
>
> in Ordnung so?
nein, du musst zeigen, dass für zwei beliebige verschiedene Vektoren a und b aus V [mm] \Phi(a)\not=\Phi(b) [/mm] ist, nicht nur für die Basisvektoren; sonst ist [mm] \Phi [/mm] nicht unbedingt injektiv.
>
> zu b)
>
> jedes [mm]v \in V[/mm] kann also erzeugt werden aus [mm]v = \summe_{i=1}^{r}x_iv_i[/mm]
> dann ist aber wegen der Liniarität jedes Bild erzeugbar
> durch [mm]\Phi v = \Phi \summe_{i=1}^{r}x_iv_i = \summe_{i=1}^{r}\Phi x_iv_i = \summe_{i=1}^{r} x_i \Phi v_i[/mm]
>
> auch ok?
Besser: dann ist aber wegen der Liniarität jedes Bild [mm]\Phi(v) = \Phi (\summe_{i=1}^{r}x_iv_i) = \summe_{i=1}^{r}\Phi (x_iv_i) = \summe_{i=1}^{r} x_i \Phi (v_i)[/mm]
und daher erzeugbar durch die [mm] \Phi (v_i).
[/mm]
>
> zu c)
>
> -> es gibt also zu jedem [mm]w \in W[/mm] gibt es also ein [mm]\Phi(v) = w[/mm]
> mit [mm]v \in V[/mm] dies muss also erzeugt sein aus
> [mm],\summe_{i=1}^{r}x_i\Phi(v_i)[/mm] wenn [mm]\Phi(v_1),...,\Phi(v_r)[/mm]
> W aufspannen
>
> also ist jedes w darstellbar als [mm]\Phi v = \Phi \summe_{i=1}^{r}x_iv_i[/mm]
> also jedes [mm]v = \summe_{i=1}^{r}x_iv_i[/mm]
>
Das letzte sollst du doch gar nicht zeigen, weder bei -->, noch bei <--
> <- spannen die Vektoren den Raum V auf, so spannen die
> Bilder nach b) den Raum Bild [mm]\Phi[/mm] auf, da dies W ist gibt
> es also zu jedem w midestens ein Urbild v
>
> fehlt da noch irgendwas ist es "dicht"
>
> danke gruß
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:16 Mi 27.08.2008 | | Autor: | vivo |
> > Hallo,
> >
> > [mm]\Phi:V \to W[/mm] sei eine lineare Abbildung zwischen
> > R-Vektorräumen V,W. Zeigen Sie:
> >
> > a) [mm]\Phi[/mm] ist genau dann injektiv, wenn gilt: Sind die
> > Vektoren [mm]v_1, ... ,v_r \in V[/mm] linear unabhängig, so sind
> > auch die Bildvektoren [mm]\Phi(v_1),...,\Phi(v_r) \in W[/mm] linear
> > unabhängig
> >
> > b) Spannen [mm]v_1,...,v_r[/mm] den Raum V auf, dann spannen
> > [mm]\Phi(v_1),...,\Phi(v_r)[/mm] Bild [mm]\Phi[/mm] auf.
> >
> > c) [mm]\Phi[/mm] ist genau dann surjektiv, wenn gilt: Spannen die
> > Vektoren [mm]v_1,...,v_r[/mm] den Raum V auf, so spannen ihre Bilder
> > [mm]\Phi(v_1),...,\Phi(v_r)[/mm] den Raum W auf
> >
> > zu a)
> >
> > -> [mm]\Phi(v_i)=\Phi(v_j)[/mm] so muss i=j sein, dies bedeutet
> Wieso bedeutet dies das Folgende?
naja, gebe es [mm] \Phi(v_i)=\Phi(v_j) [/mm] mit [mm] i\not= [/mm] j so könnte man c's finden die nicht alle null sind in der folgenden bedingung, oder?
es
> > gibt nur [mm]c_1=...=c_r=0[/mm] mit [mm]\summe_{i=1}^{r}c_i\Phi(v_i)=0[/mm]
>
> Hier taucht doch nirgendwo [mm]\Phi(v_i)=\Phi(v_j)[/mm] oder
> [mm]\Phi(v_i)\not=\Phi(v_j)[/mm] auf
wie oben beschrieben ist die Bedingung enthalten
>
> > da die Abbildung linear ist folgt:
> >
> [mm]\summe_{i=1}^{r}c_i\Phi(v_i)=\summe_{i=1}^{r}\Phi(c_iv_i)=\Phi \summe_{i=1}^{r}(c_iv_i)=0[/mm]
>
> > bei linearen Abbildungen gilt [mm]\Phi(0)=0[/mm] somit wieso gilt
> nun dieses "somit"?
das somit gilt, da: gebe es nicht nur die triviale Lösung für den letzten teil, so wären die Bildvektoren nicht mehr linear unabhängig, was sie aber aufgrund des oben gezeigten sein müssen. nicht richtig?
kann es für
> > [mm]\summe_{i=1}^{r}(c_iv_i)=0[/mm] auch nur die triviale Lösung
> > geben!
> >
> > <- so gibt es insbesondere kein [mm]v_i=v_j[/mm] mit [mm]i\not= j[/mm] und
> > auch kein solches Bild [mm]\Phi(v_i)=\Phi(v_j)[/mm] mit [mm]i\not= j[/mm]
> > daraus folgt dass [mm]\Phi[/mm] injektiv ist
> >
> > in Ordnung so?
> nein, du musst zeigen, dass für zwei beliebige
> verschiedene Vektoren a und b aus V [mm]\Phi(a)\not=\Phi(b)[/mm]
> ist, nicht nur für die Basisvektoren; sonst ist [mm]\Phi[/mm] nicht
> unbedingt injektiv.
> >
> > zu b)
> >
> > jedes [mm]v \in V[/mm] kann also erzeugt werden aus [mm]v = \summe_{i=1}^{r}x_iv_i[/mm]
> > dann ist aber wegen der Liniarität jedes Bild erzeugbar
> > durch [mm]\Phi v = \Phi \summe_{i=1}^{r}x_iv_i = \summe_{i=1}^{r}\Phi x_iv_i = \summe_{i=1}^{r} x_i \Phi v_i[/mm]
> >
> > auch ok?
>
> Besser: dann ist aber wegen der Liniarität jedes Bild
> [mm]\Phi(v) = \Phi (\summe_{i=1}^{r}x_iv_i) = \summe_{i=1}^{r}\Phi (x_iv_i) = \summe_{i=1}^{r} x_i \Phi (v_i)[/mm]
> und daher erzeugbar durch die [mm]\Phi (v_i).[/mm]
>
>
> >
> > zu c)
> >
> > -> es gibt also zu jedem [mm]w \in W[/mm] gibt es also ein [mm]\Phi(v) = w[/mm]
> > mit [mm]v \in V[/mm] dies muss also erzeugt sein aus
> > [mm],\summe_{i=1}^{r}x_i\Phi(v_i)[/mm] wenn [mm]\Phi(v_1),...,\Phi(v_r)[/mm]
> > W aufspannen
> >
> > also ist jedes w darstellbar als [mm]\Phi v = \Phi \summe_{i=1}^{r}x_iv_i[/mm]
> > also jedes [mm]v = \summe_{i=1}^{r}x_iv_i[/mm]
> >
>
> Das letzte sollst du doch gar nicht zeigen, weder bei -->,
> noch bei <--
warum muss ich dass nicht zeigen, da steht doch genau dann ... und dass untere ist doch die <- richtung, man geht davon aus dass blabal aufgespannt wird und folgert ..., versteht ich da was falsch?
> > <- spannen die Vektoren den Raum V auf, so spannen die
> > Bilder nach b) den Raum Bild [mm]\Phi[/mm] auf, da dies W ist gibt
> > es also zu jedem w midestens ein Urbild v
> >
> > fehlt da noch irgendwas ist es "dicht"
> >
> > danke gruß
> >
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Hallo,
dieses dreifarbige Post überfordert mich in höchstem Maße, deshalb melde ich mich an dieser Stelle zu Worte, werde aber versuchen, auf die dort gestellten Fragen einzugehen.
> [mm]\Phi:V \to W[/mm] sei eine lineare Abbildung zwischen
> R-Vektorräumen V,W. Zeigen Sie:
>
> a) [mm]\Phi[/mm] ist genau dann injektiv, wenn gilt: Sind die
> Vektoren [mm]v_1, ... ,v_r \in V[/mm] linear unabhängig, so sind
> auch die Bildvektoren [mm]\Phi(v_1),...,\Phi(v_r) \in W[/mm] linear
> unabhängig
> zu a)
>
> -> [mm]\Phi(v_i)=\Phi(v_j)[/mm] so muss i=j sein, dies bedeutet es
> gibt nur [mm]c_1=...=c_r=0[/mm] mit [mm]\summe_{i=1}^{r}c_i\Phi(v_i)=0[/mm]
Nein, das stimmt so doch nicht.
Wenn aus [mm] \Phi(v_1)=\Phi(v_2) [/mm] folgt, daß [mm] v_1=v_2, [/mm] ist doch trotzdem [mm] 1*\Phi(v_1)+(-1)*\Phi(v_2)=0.
[/mm]
> da die Abbildung linear ist folgt:
> [mm]\summe_{i=1}^{r}c_i\Phi(v_i)=\summe_{i=1}^{r}\Phi(c_iv_i)=\Phi \summe_{i=1}^{r}(c_iv_i)=0[/mm]
> bei linearen Abbildungen gilt [mm]\Phi(0)=0[/mm] somit kann es für
> [mm]\summe_{i=1}^{r}(c_iv_i)=0[/mm] auch nur die triviale Lösung
> geben!
>
> <- so gibt es insbesondere kein [mm]v_i=v_j[/mm] mit [mm]i\not= j[/mm] und
> auch kein solches Bild [mm]\Phi(v_i)=\Phi(v_j)[/mm] mit [mm]i\not= j[/mm]
> daraus folgt dass [mm]\Phi[/mm] injektiv ist
>
> in Ordnung so?
Nein.
Solch einen Beweis muß man so aufschreiben, daß der Leser ohne Gehirnverdrehungen und allzuviel Nachdenken folgen kann.
Das gelingt mir nicht, und meinem Vorredner ging es offenbar ebenso.
Ich glaube, daß es nicht nur für den Leser, sondern vor allem für Dich nützlich ist, wenn Du Dir vor dem Drauflosbeweisen erstmal aufschreibst, was zu beweisen ist.
Und wenn Du einen Text schreibst, sei doch bitte etwas großzügiger mit Satzzeichen .
In a) sind also zwei Richtungen zu zeigen:
A. [mm] \Phi [/mm] ist injektiv ==> sind die [mm] v_i [/mm] linear unabhängig, so sind auch die [mm] \Phi(v_i) [/mm] linear dann unabhängig.
B. [mm] (v_i [/mm] linear unabhängig ==> [mm] \Phi(v_i) [/mm] linear unabhängig) ==> [mm] \Phi [/mm] ist injektiv.
zu A.:
Voraussetzung: Es sei [mm] \Phi [/mm] injektiv, und die [mm] v_i [/mm] seien linear unabhängig.
Zu Zeigen: Dann sind die [mm] \Phi(v_i) [/mm] linear unabhängig
Beweis: Sei also [mm] \Phi [/mm] injektiv, und die [mm] v_i [/mm] seien linear unabhängig..
Es gebe [mm] a_i\in \IR [/mm] mit [mm] \summe a_i\Phi(v_i)=0 [/mm] .
==> und hier kannst Du nun weitermachen. Nutze die Linearität von [mm] \Phi, [/mm] danach die Injektivität und schließlich die lineare Unabhängigkeit von [mm] \Phi.
[/mm]
(Noch ein Hinweis: Du könntest mal darüber nachdenken, was lineare Abbildung, Kern der Abbildung und Injektivität miteinander zu tun haben.)
zu B.:
Voraussetzung: [mm] v_i [/mm] linear unabhängig ==> [mm] \Phi(v_i) [/mm] linear unabhängig
Zu zeigen: Dann ist [mm] \Phi [/mm] injektiv.
Beweis: (hier würde ich zeigen, daß aus [mm] x\in Kern\Phi [/mm] folgt x=0)
Sei B eine Basis von V und sei [mm] x\in [/mm] Kern [mm] \Phi.
[/mm]
Dann gibt es [mm] b_i \in [/mm] B und [mm] a_i \in \IR [/mm] mit [mm] x=\summea_ib_i.
[/mm]
Also ist [mm] \Phi(x)=...
[/mm]
Versuch's mal so.
> c) [mm]\Phi[/mm] ist genau dann surjektiv, wenn gilt: Spannen die
> Vektoren [mm]v_1,...,v_r[/mm] den Raum V auf, so spannen ihre Bilder
> [mm]\Phi(v_1),...,\Phi(v_r)[/mm] den Raum W auf
>
Hier gilt dasselbe wie oben.
Mach Dir zunächst - und zwar schriftlich, um nicht in diffusen Gedankennebeln zu versinken! - klar, was überhaupt zu zeigen ist.
Wieder sind es zwei Richtungen:
A. [mm] \Phi [/mm] ist surjektiv ==> wenn die [mm] v_i [/mm] ein Erzeugendensystem von V sind, sind die [mm] \Phi(v_i) [/mm] ein Erzeugendensystem von W.
B. ( die [mm] v_i [/mm] sind Erzeugendensystem v. V ==> die [mm] \Phi(v_i) [/mm] sind Erzeugendensystem von W) ==> [mm] \Phi [/mm] ist surjektiv.
Zu A.:
Voraussetzung: [mm] \Phi [/mm] sei surjektiv und die [mm] v_i [/mm] seien ein Erzeugendensystem von V
zu zeigen: dann sind die [mm] \Phi(v_i) [/mm] ein Erzeugendensystem von W.
Beweis: Es sei also [mm] \Phi [/mm] surjektiv und [mm] v_1,...v_r [/mm] erzeuge den Vektorraum V.
Sei w [mm] \in [/mm] W. Weil [mm] \Phi [/mm] surjektiv ist, gibt es ein v [mm] \in [/mm] V mit [mm] w=\Phi(v).
[/mm]
Da [mm] v_1,...v_r [/mm] den Vektorraum V aufspannen kann man v schreiben als v=...
Also ist [mm] w=\Phi(v)= [/mm] ...
Hier ist wieder die Linearität zu verwenden.
Zu B.:
Voraussetzung: wenn die [mm] v_i [/mm] ein Erzeugendensystem v. V sind, sind die [mm] \Phi(v_i) [/mm] ein Erzeugendensystem von W
zu zeigen: [mm] \Phi [/mm] ist surjektiv (dh. auf jedes Element aus W wird eins aus V abgebildet.)
Beweis: Es sei [mm] v_1, ...v_r [/mm] ein Erzeugendensystem von V.
Nach Voraussetzung ist dann [mm] \Phi(v_1), ...,\Phi(v_r) [/mm] ein Erzeugendensystem von W.
Sei jetzt [mm] w\in [/mm] W. dann kann man w schreiben als w= ... .
Nun die Linearität ausnutzen und damit glaubhaft machen, daß es ein [mm] v\in [/mm] V gibt, welches auf w abgebildet wird.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Mi 27.08.2008 | | Autor: | vivo |
erstmal danke!!!!!
ich schaus mir nochmal an ...
gruß
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