injektive Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 So 07.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Sei R ein kommutativer Ring.Man zeige,dass die Abbildung [mm] f:R-->R^{2 \times 2},r \mapsto \pmat{ 1 & r \\ 0 & 1 } [/mm] injektiv ist . |
Hallo,
mir ist klar,dass die Abbildung injektiv ist,ich weiß nur nicht genau wie ich das zeigen soll.Wenn ich hinschreibe: [mm] \forall [/mm] r [mm] \in [/mm] R:f(r)=f(s) --->r=s.
Ist damit schon gezeigt,dass die Abbildung injektiv ist,denn das ist eigentlich nur die Definition von Injektivität, wie soll man das sonst "zeigen" ?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 So 07.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde über die Kontraposition gehen, nimm also an, dass f nicht injektiv ist, also dass es [mm] r_{1} [/mm] und [mm] r_{2} [/mm] gibt, mit [mm] r_{1}\ne r_{2} [/mm] aber [mm] f(r_{1})=f(r_{2}) [/mm] und führe das zu einem Wiederspruch.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 So 07.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
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> Ich würde über die Kontraposition gehen, nimm also an,
> dass f nicht injektiv ist, also dass es [mm]r_{1}[/mm] und [mm]r_{2}[/mm]
> gibt, mit [mm]r_{1}\ne r_{2}[/mm] aber [mm]f(r_{1})=f(r_{2})[/mm] und führe
> das zu einem Wiederspruch.
>
OK,also angenommen f ist nicht injektiv, dann ist [mm] f(r_{1})=\pmat{ 1 & r_{1} \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] f(r_{2})=\pmat{ 1 & r_{2} \\ 0 & 1 }
[/mm]
Jetzt muss ich zeigen,dass [mm] f(r_{1})=f(r_{2}), [/mm] aber [mm] r_{1} \not= r_{2}.
[/mm]
Wie zeig ich denn dass [mm] \pmat{ 1 & r_{1} \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & r_{2} \\ 0 & 1 } [/mm] , denn zunächst sehen sie ja ungleich aus ?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 So 07.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo
> >
> > Ich würde über die Kontraposition gehen, nimm also an,
> > dass f nicht injektiv ist, also dass es [mm]r_{1}[/mm] und [mm]r_{2}[/mm]
> > gibt, mit [mm]r_{1}\ne r_{2}[/mm] aber [mm]f(r_{1})=f(r_{2})[/mm] und führe
> > das zu einem Wiederspruch.
> >
>
> OK,also angenommen f ist nicht injektiv, dann ist
> [mm]f(r_{1})=\pmat{ 1 & r_{1} \\ 0 & 1 }[/mm] und [mm]f(r_{2})=\pmat{ 1 & r_{2} \\ 0 & 1 }[/mm]
So ist es gemeint: angenommen f ist nicht injektiv, dann existieren [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] mit:
[mm] f(r_{1})=\pmat{ 1 & r_{1} \\ 0 & 1 }=[/mm] [mm]f(r_{2})=\pmat{ 1 & r_{2} \\ 0 & 1 }[/mm],
aber [mm] r_1 \ne r_2
[/mm]
Kann das sein ?
FRED
>
> Jetzt muss ich zeigen,dass [mm]f(r_{1})=f(r_{2}),[/mm] aber [mm]r_{1} \not= r_{2}.[/mm]
>
> Wie zeig ich denn dass [mm]\pmat{ 1 & r_{1} \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & r_{2} \\ 0 & 1 }[/mm]
> , denn zunächst sehen sie ja ungleich aus ?
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 So 07.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
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> So ist es gemeint: angenommen f ist nicht injektiv, dann
> existieren [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm] mit:
>
> [mm]f(r_{1})=\pmat{ 1 & r_{1} \\ 0 & 1 }=[/mm] [mm]f(r_{2})=\pmat{ 1 & r_{2} \\ 0 & 1 }[/mm],
>
> aber [mm]r_1 \ne r_2[/mm]
>
> Kann das sein ?
Das kann nicht sein,daher ist f injektiv.Reicht das schon als Begründung?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 So 07.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> >
> > So ist es gemeint: angenommen f ist nicht injektiv, dann
> > existieren [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm] mit:
> >
> > [mm]f(r_{1})=\pmat{ 1 & r_{1} \\ 0 & 1 }=[/mm] [mm]f(r_{2})=\pmat{ 1 & r_{2} \\ 0 & 1 }[/mm],
>
> >
> > aber [mm]r_1 \ne r_2[/mm]
> >
> > Kann das sein ?
>
> Das kann nicht sein,daher ist f injektiv.Reicht das schon
> als Begründung?
Ja
FRED
>
> lg
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