injektive Abbildungen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Mi 09.11.2011 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | Es seien f: X -> Y und g: Y -> Z zwei injektive Abbildungen. Zeigen Sie dass dann auch g o (Ring) f: X -> Z injektiv ist. |
Hallo liebe Gemeinde!
Also hier hab ich leider Null Durchblick. Kann mir jemand mal die Aufgabenstellung erklären..
Also injektiv bedeutet ja das die Funktion in der Zielmenge kein Element mehrfach trifft.
und g o f ist ja irgendwie so eine durchgeschliffene Funktion wo die elemente von X durch f und g über Y in Z geleitet werden.
Also ist die frage jetzt... wenn von X nach Y und von Y nach Z nur injektiv abgebildet werden kann, muß dann jede Abbildung von X nach Z injektiv sein?
hab ich das richtig verstanden?
wie zeigt man sowas dann?
soll ich das anhand der elemente abstrahieren und dann verallgemeinern?
wie würdet ihr das machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
g [mm] \circ [/mm] f ist def. durch:
(g [mm] \circ [/mm] f)(x)=g(f(x)).
Jetzt nehmen wir uns zwei Elemente a,b [mm] \in [/mm] X her mit der Eigenschaft: (g [mm] \circ [/mm] f)(a)=(g [mm] \circ [/mm] f)(b), also
(*) g(f(a))=g(f(b))
zeigen mußt Du: a=b.
Warum folgt aus (*) nun, dass f(a)=f(b) ist ?
Und warum folgt weiter, dass a=b ist ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Do 10.11.2011 | | Autor: | elmanuel |
danke fred für deine antwort :)
> g [mm]\circ[/mm] f ist def. durch:
>
> (g [mm]\circ[/mm] f)(x)=g(f(x)).
>
> Jetzt nehmen wir uns zwei Elemente a,b [mm]\in[/mm] X her mit der
> Eigenschaft: (g [mm]\circ[/mm] f)(a)=(g [mm]\circ[/mm] f)(b), also
>
> (*) g(f(a))=g(f(b))
>
> zeigen mußt Du: a=b.
>
> Warum folgt aus (*) nun, dass f(a)=f(b) ist ?
>
die Definition von injektivität:
a [mm] \not= [/mm] b [mm] \in [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] f(a) [mm] \not= [/mm] f(b) oder f(a)=f(b) [mm] \Rightarrow [/mm] a=b
wegen dem rechten Teil der Definition folgt aus g(f(a))=g(f(b)) das f(a)=f(b) ist.
> Und warum folgt weiter, dass a=b ist ?
auf die gleiche weise folgt aus f(a)=f(b) das a=b ist.
>
> FRED
aber warum beweist mir das jetzt das g [mm] \circ [/mm] f injektiv ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Do 10.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> danke fred für deine antwort :)
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> > g [mm]\circ[/mm] f ist def. durch:
> >
> > (g [mm]\circ[/mm] f)(x)=g(f(x)).
> >
> > Jetzt nehmen wir uns zwei Elemente a,b [mm]\in[/mm] X her mit der
> > Eigenschaft: (g [mm]\circ[/mm] f)(a)=(g [mm]\circ[/mm] f)(b), also
> >
> > (*) g(f(a))=g(f(b))
> >
> > zeigen mußt Du: a=b.
> >
> > Warum folgt aus (*) nun, dass f(a)=f(b) ist ?
> >
>
> die Definition von injektivität:
> a [mm]\not=[/mm] b [mm]\in[/mm] X [mm]\Rightarrow[/mm] f(a) [mm]\not=[/mm] f(b) oder f(a)=f(b)
> [mm]\Rightarrow[/mm] a=b
>
> wegen dem rechten Teil der Definition folgt aus
> g(f(a))=g(f(b)) das f(a)=f(b) ist.
>
> > Und warum folgt weiter, dass a=b ist ?
>
> auf die gleiche weise folgt aus f(a)=f(b) das a=b ist.
>
> >
> > FRED
>
> aber warum beweist mir das jetzt das g [mm]\circ[/mm] f injektiv
> ist?
Ääähmm... ?
Injektivität einer Funktion h: aus h(a)=h(b) folgt stets a=b.
Genau das hast Du für h= g [mm]\circ[/mm] f gezeigt.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Do 10.11.2011 | | Autor: | elmanuel |
ah ... da stand ich wohl etwas auf meiner leitung, jetzt leuchtet das lämpchen :)
danke fred!
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