injektive lineare abbildung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien m<n nat. zahlen, sei K ein Körper. Sei V ein K-VR der Dimension m und W ein K-VR der Dimension n. Zeige:
a) Es gibt eine injektive lineare Abbildung von V nach W, aber keine injektive lineare Abbildung von W nach V.
b) Es gibt eine surjektive lineare Abbildung von W nach V, aber keine surjektive lineare Abbildung von V nach W. |
Hallo,
mein Ansatz für a)
[mm] span(V)=\{b_{1};...;b_{m}\}
[/mm]
[mm] span(W)=\{b_{1};...;b_{m};b_{m+1};...;b_{n}\}
[/mm]
sei x [mm] \in [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] es ex. [mm] x=\lambda_{1}*b_{1}+...+\lambda_{m}*b_{m} [/mm] eindeutig
sei y [mm] \in [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] es ex. [mm] y=\nu_{1}*b_{1}+...+\nu_{m}*b_{m} [/mm] eindeutig
für eine beliebige Abbildung gilt:
[mm] \phi(x)= \phi(\lambda_{1}*b_{1}+...+\lambda_{m}*b_{m})= \mu_{1}*b_{1}+...+\mu_{m}*b_{m}+\mu_{m+1}*b_{m+1}+...+ \mu_{n}*b_{n} [/mm] eindeutige Darstellung
[mm] \phi(y)= \phi(\nu_{1}*b_{1}+...+\nu_{m}*b_{m})= \gamma_{1}*b_{1}+...+\gamma_{m}*b_{m}+\gamma_{m+1}*b_{m+1}+...+ \gamma_{n}*b_{n} [/mm] eindeutige Darstellung
[mm] \Rightarrow [/mm] min. ein [mm] \mu_{i} \not= \gamma_{i} \Rightarrow \phi(x) \not= \phi(y), [/mm] also ist die Abbildung injektiv
die Basisvektoren sind lin unabh. also gilt, dass nur der 0-Vektor auf 0 abgebildet wird, also der ker [mm] \phi={0} [/mm] ist, und somit ist die Abbildung linear.
Weil dim V< dim W ist, kann eine solche Abbildung nicht ex.
Stimmt das so?
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> Seien m<n nat. zahlen, sei K ein Körper. Sei V ein K-VR
> der Dimension m und W ein K-VR der Dimension n. Zeige:
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> a) Es gibt eine injektive lineare Abbildung von V nach W,
> aber keine injektive lineare Abbildung von W nach V.
>
> b) Es gibt eine surjektive lineare Abbildung von W nach V,
> aber keine surjektive lineare Abbildung von V nach W.
> Hallo,
>
> mein Ansatz für a)
>
> [mm]span(V)=\{b_{1};...;b_{m}\}[/mm]
> [mm]span(W)=\{b_{1};...;b_{m};b_{m+1};...;b_{n}\}[/mm]
Deine Bezeichnungen sind nicht richtig. Wähle zu beiden VRs eine Basis. Dabei kommen sicherlich keine gleichen Basiselemente vor (da ja die Dimension anders ist). Sei etwa [mm] B=(b_1,\ldots, b_m) [/mm] eine Basis des m dimensionalen VRs V, sei [mm] C=(c_1, \ldots,c_n) [/mm] eine Basis des n-dimensionalen VRs W.
Die Ideen deiner Ausführungen waren zwar ganz gut, aber wegen den 'Doppelbezeichnungen' der Basisvektoren leider nicht richtig.
Ist dir bekannt, dass eine lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt ist (das folgt aus der Linearität und der eindeutigen Linearkombination aller Elemente der VRs)?
Damit kannst du dir die lineare Abbildung g: [mm] W=k^n\to V=k^m [/mm] definieren, für die gilt [mm] g(b_i)=c_i. [/mm] g bildet also entsprechende Basisvektoren aufeinander ab. Die Abbildung g ist injektiv (ein Vektor aus [mm] w\inW [/mm] hat eine eindeutige Linearkombination bzgl B: [mm] w=\sum_{i=1}^m\lambda_i b_i, [/mm] dann aber ist [mm] g(w)=\sum_{i=1}^m\lambda_i c_i [/mm] wegen Linearität auch eine eindeutige Linearkombination bzgl der Basis C - die Koordinatenvektoren sind sich also ähnlich [...])
>
> Weil dim V=m< dim W=n ist, kann eine solche Abbildung nicht
> ex.
Ja, das sollte für die andere Richtung reichen.
Gruß
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