injektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Di 08.04.2008 | | Autor: | AriR |
hey leute
angenommen ich hab ne lin abb. f von V nach W wobei V und W beides n-dim VR sind.
diese abb ist ja nur nicht injektiv, wenn kern nicht trivial ist. angenommen man würde das beweisen durch einen widerspruch, dann könnte man das doch nur anhand der elemente des kerns machen oder?
also angenommen ich will zeigen das aus f(v)=f(w) nicht zwingend v=w folgt, dann geht das doch nur, wenn entweder v oder w oder beide im kern von f sind ne?
für alle elemente außerhalb des kerns würde die implikation f(v)=f(w) [mm] \Rightarrow [/mm] v=w stimmen oder?
die frage ist etwas komisch und dient eher dem verständnis der strukturen... hoffe ihr versteht ca was ich meine..
gruß ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Di 08.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
mir ist nicht so ganz klar, auf was du hinaus willst, aber vielleicht hilft dir ja folgende äquivalenz $f(v) = f(w) [mm] \; \Longleftrightarrow \; [/mm] f(v) - f(w) = 0 [mm] \; \Longleftrightarrow \; [/mm] f(v - w) = 0 [mm] \; \Longleftrightarrow \; [/mm] v - w [mm] \in \ker [/mm] f$?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Di 08.04.2008 | | Autor: | AriR |
nein so meine ich das leider nicht..
ich gehe davon aus, dass die abb NICHT injektiv ist und versuche jetzt eine aussage über die elemente zu machen, die mir dabei helfen können zu beweisen, dass die abb tatsächlich nicht injektiv ist bzw welche elemente es sind die die abb daran hindern NICHT injektiv zu sein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Di 08.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
ich denke das kann man schon aus der äquivalenzkette herauslesen. ansonsten: mach dir ein bild. betrachte die lineare abbildung [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2; \; [/mm] (x, [mm] y)^t \longrightarrow [/mm] (x + y, x + [mm] y)^t$. [/mm] zeiche in ein koordinatensystem [mm] $\ker \varphi$, $\mathrm{im} \, \varphi$ [/mm] und die elemente, welche unter [mm] $\varphi$ [/mm] auf $(1, [mm] 1)^t$ [/mm] abgebildet werden. wo liegen dann alle elemente die unter der abbildung das selbe bild haben? was haben diese dadurch entstehenden geraden mit [mm] $\ker \varphi$ [/mm] zu tuen?
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Do 10.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Also die Frage is ob aus [mm] $v\ne [/mm] w$ und $f(v)=f(w)$ folgt, dass [mm] $v,w\in\ker [/mm] f$.
Bin auch immer davon ausgegangen, dass das stimmt, aber wenn man mal das Beispiel von Andreas nimmt, da ist ja z.B. [mm] $\varphi((0,1)^T)=\varphi((1,0)^T)=(1,1)^T$, [/mm] d.h. diese beiden Vektoren "hindern [mm] $\varphi$ [/mm] daran, injektiv zu sein", liegen aber nicht im Kern. Wie bereits gesagt wurde, gilt aber für alle solchen Elemente, dass ihre Differenz im Kern liegt.
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