injektivität mit ker(f) < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Anna00 |
| Aufgabe | Zeigen Sie für eine Funktion f: A [mm] \to [/mm] B:
f ist injektiv genau dann, wenn für alle a,a' [mm] \in [/mm] A gilt:
wenn a [mm] \not= [/mm] a' , dann f(a) [mm] \not= [/mm] f(a'). |
Zu meiner Frage, normalerweise würde ich ker(f) mit der linearen Definition des Funktionskerns nehmen und dieses anhand eines Widerspruchsbeweises beweisen.
Doch in der Vorlesung ist nur die folgende Definition von der injektivität.
f ist injektiv, falls ker(f) = [mm] \Delta [/mm] A = def {(a,a) | a [mm] \in [/mm] A} gilt.
Wo [mm] \Delta [/mm] die Diagonale von [mm] A^2 [/mm] ist.
ker(f) hat folgende Definition {(a,a') [mm] \in A^2 [/mm] | f(a) = f(a') }
Ich habe nun den ganzen Tag gelesen etc, doch ich komm einfach nicht dahinter, wie ich das mit dieser Definition Beweisen soll.
Über etwas Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Lieben Gruß
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich habe nun den ganzen Tag gelesen etc, doch ich komm
> einfach nicht dahinter, wie ich das mit dieser Definition
> Beweisen soll.
Es kann an meinem Unwissen bzgl. des Themengebiets liegen, aber ist die Aussage nicht trivial?
" [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ":
Sei $f$ injektiv, d.h. ker(f) = [mm] \Delta [/mm] A.
Sei $a [mm] \not= [/mm] a'$. Angenommen $f(a) = f(a')$. Dann wäre $(a, a') [mm] \in [/mm] ker(f)$ (Definition von ker(f)).
Daraus würde folgen: (a,a') [mm] \in \Delta [/mm] A. Widerspruch, weil a [mm] \not= [/mm] a'.
Also f(a) [mm] \not= [/mm] f(a').
" [mm] $\Leftarrow$ [/mm] ":
Gelte für alle a,a': a [mm] \not= [/mm] a' [mm] \Rightarrow [/mm] f(a) [mm] \not= [/mm] f(a').
Zu zeigen ist: $ker(f) = [mm] \Delta [/mm] A$. Wir zeigen zuerst " [mm] \subset [/mm] ": Sei (a,a') [mm] \in [/mm] ker(f). Dann gilt f(a) = f(a'). Angenommen (a,a') [mm] \not\in [/mm] Delta A. Dann wäre a [mm] \not= [/mm] a'. Es folgt nach Voraussetzung f(a) [mm] \not= [/mm] f(a'), Widerspruch.
" [mm] \supset [/mm] " geht genauso leicht......
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Anna00 |
Hallo,
riesendanke für deine Antwort. Mehr ist das nicht?
(sorry, ich bin blutiger Anfänger).
Ich dachte, dass man da noch irgendwie das alles rechnerisch
belegen muss.
Nochmal riesendanke.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> riesendanke für deine Antwort.
> (sorry, ich bin blutiger Anfänger).
Wir haben alle mal angefangen :)
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
|
