inkongruente Lösung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 So 30.12.2007 | | Autor: | Mathec |
| Aufgabe | Wieviele inkongruente Lösungen haben die Kongruenzen
[mm] n^{2}\equiv [/mm] 8mod 17 und [mm] n^{2}\equiv [/mm] 13mod 35
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Hallo zusammen!
Ich weiß leider nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.Bei der 1.Kongruenz habe ich das einfach mal ausprobiert und kam dann auf die Lösungen 5 und 12, aber das kann ja sicher nicht der einzige Lösungsweg sein! Dann habe ich versucht, mittels des "quadratischen Symbols" auf eine Lösung zukommen.Ich habe [mm] also(\bruch{8}{17}) [/mm] soweit umgeformt bis ich auf [mm] (\bruch{1}{8}) [/mm] kam,aber diese Kongruenz [mm] n^{2} \equiv [/mm] 1mod 8 hat ja die Lösungen 1,3,5,7...das scheint also auch nicht zu passen:-(
Kann mir jemand einen kleinen Tipp geben? Wäre sehr dankbar!
Mathec
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Di 01.01.2008 | | Autor: | Mathec |
....natürlich bin ich immer noch an einer Antwort interessiert.War die Frage denn so blöd oder kann mir einfach nur keiner helfen???
LG
Martina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Di 01.01.2008 | | Autor: | statler |
> Wieviele inkongruente Lösungen haben die Kongruenzen
> [mm]n^{2}\equiv[/mm] 8mod 17 und [mm]n^{2}\equiv[/mm] 13mod 35
> Ich weiß leider nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen
> soll.Bei der 1.Kongruenz habe ich das einfach mal
> ausprobiert und kam dann auf die Lösungen 5 und 12, aber
> das kann ja sicher nicht der einzige Lösungsweg sein!
Ich denke mal, mit dem Wissen, was dir aktuell zur Verfügung steht, ist das der einzige Lösungsweg. Aber guck die Frage mal genau an: Gesucht sind nicht die Lösungen, sondern die Anzahl der Lösungen! Und da du anscheinend das quadratische Reziprozitätsgesetz kennst (aber falsch anwendest), kannst du die Anzahl ganz einfach bestimmen. Da 17 eine Primzahl ist, gibt es 0 oder 2 Lösungen, je nachdem, ob 8 quadratischer Rest ist oder nicht. Das rechnen wir ganz fix aus.
[mm] (\bruch{8}{17}) [/mm] = [mm] (\bruch{2}{17})^{3} [/mm] = [mm] (-1)^{\bruch{17^{2}-1}{8}*3} [/mm] = 1, also 2 Lösungen. Wenn 5 die eine ist, ist übrigens -5 die andere.
> Dann
> habe ich versucht, mittels des "quadratischen Symbols" auf
> eine Lösung zukommen.Ich habe [mm]also(\bruch{8}{17})[/mm] soweit
> umgeformt bis ich auf [mm](\bruch{1}{8})[/mm] kam,aber diese
> Kongruenz [mm]n^{2} \equiv[/mm] 1mod 8 hat ja die Lösungen
> 1,3,5,7...das scheint also auch nicht zu passen:-(
Man kann das Restsymbol nicht einfach so umdrehen, es gibt dazu einen Satz und 2 Ergänzungssätze, die genau sagen, wie es geht.
Die andere Kongruenz kannst du zerlegen in eine Kongruenz mod 5 und eine mod 7.
> Kann mir jemand einen kleinen Tipp geben? Wäre sehr
> dankbar!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 03.01.2008 | | Autor: | Mathec |
Hi!
Danke für die Antwort, die ich auch soweit verstanden haben. Aber wieso wende ich das Gesetz falsch an?
Es ist doch:
[mm] (\bruch{8}{17}) [/mm] =+ [mm] (\bruch{17}{8})= (\bruch{1}{8})=1, [/mm] also gibt es 2 Lösungen, oder?
LG
Mathec
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Fr 04.01.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Danke für die Antwort, die ich auch soweit verstanden
> haben. Aber wieso wende ich das Gesetz falsch an?
> Es ist doch:
> [mm](\bruch{8}{17})[/mm] =+ [mm](\bruch{17}{8})= (\bruch{1}{8})=1,[/mm] also
> gibt es 2 Lösungen, oder?
Bei dir sieht das so aus, als würdest du glauben, daß 8 eine ungerade Primzahl ist. Und deswegen glaube ich, daß du die Regeln falsch anwendest, obwohl dein Ergebnis stimmt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Mathec |
Sorry, ich verstehe nicht was du meinst...wieso sollte ich denn denken, dass 8 eine Primzahl ist?
Warum ich darauf komme, dass [mm] (\bruch{1}{8})=1 [/mm] ist? Ich schau mir einfach mal an:
[mm] x^{2} \equiv [/mm] 1 mod 8 und dass es hierzu eine Lösung gibt (z.B.1 )ist ja offensichtlich und daher sage ich, dass [mm] (\bruch{1}{8})=1...
[/mm]
ist dieses Verfahren denn falsch? Ich erinnere mich, dass wir das in der Vorlesung auch so hatten...
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Fr 04.01.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Martina!
> Sorry, ich verstehe nicht was du meinst...wieso sollte ich
> denn denken, dass 8 eine Primzahl ist?
> Warum ich darauf komme, dass [mm](\bruch{1}{8})=1[/mm] ist? Ich
> schau mir einfach mal an:
> [mm]x^{2} \equiv[/mm] 1 mod 8 und dass es hierzu eine Lösung gibt
> (z.B.1 )ist ja offensichtlich und daher sage ich, dass
> [mm](\bruch{1}{8})=1...[/mm]
> ist dieses Verfahren denn falsch? Ich erinnere mich, dass
> wir das in der Vorlesung auch so hatten...
Das Legendre-Symbol [mm] (\bruch{x}{y}) [/mm] ist zunächst nur in 3 Fällen definiert:
Unten steht immer eine ungerade Primzahl, und oben steht auch eine ungerade Primzahl (die von der unteren verschieden ist) oder 2 oder -1. Zur Berechnung des Wertes hat man dann das quadratische Reziprozitätsgesetz. Außerdem kann man sich leicht überlegen, daß das Symbol im 'Zähler' multiplikativ ist, also
[mm] (\bruch{xy}{p}) [/mm] = [mm] (\bruch{x}{p})*(\bruch{y}{p})
[/mm]
gilt, wann immer das definiert ist.
Woher nimmst du denn die Gleichung [mm] (\bruch{8}{17}) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{8})? [/mm] Es ist immer ein Problem, eine Aufgabe zu kommentieren, wenn man nicht weiß, was in der Vorlesung wie gemacht worden ist, insofern bitte ich um Nachsicht.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Mathec |
Mahlzeit
Ja klar! Kann ich natürlich verstehen!
Also:
[mm] (\bruch{8}{17}) [/mm] kann ich umdrehen zu [mm] +(\bruch{17}{8}) [/mm] da hier 17 kongruent ist zu 1 mod 4 ist.
[mm] (\bruch{17}{8}) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{8})...
[/mm]
und [mm] (\bruch{1}{8}) [/mm] = 1 mit meiner Begründung von oben.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Fr 04.01.2008 | | Autor: | statler |
Hi,
was ist denn [mm] (\bruch{2}{101})? [/mm] Wie berechnest du das?
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Mathec |
[mm] (\bruch{2}{101}) [/mm] = [mm] (\bruch{101}{2}), [/mm] da 101 kongruent zu 1 mod 4.
Weiter ist dann [mm] (\bruch{101}{2}) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2}) [/mm] und dies ist gleich 1, da [mm] x^{2} \equiv [/mm] 1 mod 2 eine Lösung hat!
Ist das nun falsch? Tut mir leid, aber ich versteh nicht, auf was du hinaus willst:-(
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Fr 04.01.2008 | | Autor: | statler |
HI!
> [mm](\bruch{2}{101})[/mm] = [mm](\bruch{101}{2}),[/mm] da 101 kongruent zu 1
> mod 4.
> Weiter ist dann [mm](\bruch{101}{2})[/mm] = [mm](\bruch{1}{2})[/mm] und
> dies ist gleich 1, da [mm]x^{2} \equiv[/mm] 1 mod 2 eine Lösung
> hat!
> Ist das nun falsch? Tut mir leid, aber ich versteh nicht,
> auf was du hinaus willst:-(
Das ist allerdings falsch. 101 ist eine Primzahl, und 2 ist quadratischer Nichtrest mod 101, weil 101 [mm] \equiv [/mm] 5 mod 8 ist. Viel einfacher wäre es mit [mm] (\bruch{2}{5}) [/mm] gewesen, die quadratischen Reste mod 5 sind offensichtlich 1 und 4.
Ich weiß jetzt nicht, ob man dir in der Vorlesung Murks erzählt hat oder ob du etwas durcheinanderbringst. Auf jeden Fall solltest du dich an das Thema 'Quadratisches Reziprozitätsgesetz' ranarbeiten.
Ansonsten wirst du auch hier geholfen
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Mathec |
ok, und wie zeigt man das formal???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Mathec |
nochmal ne kurze Frage:
Würde statt der 2 in deiner Aufgabe eine ungerade Primzahl stehen, würde mein Lösungsweg aber funktionieren,oder?
Ansonsten würde ich die Aufgabe so lösen:
[mm] (\bruch{2}{101}) [/mm] = [mm] (-1)^{\bruch{101^{2}-1}{8}}.
[/mm]
Hatte die Voraussetzung zum Rez.gesetz dummerweise überlesen
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Fr 04.01.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> nochmal ne kurze Frage:
> Würde statt der 2 in deiner Aufgabe eine ungerade Primzahl
> stehen, würde mein Lösungsweg aber funktionieren,oder?
> Ansonsten würde ich die Aufgabe so lösen:
> [mm](\bruch{2}{101})[/mm] = [mm](-1)^{\bruch{101^{2}-1}{8}}.[/mm]
> Hatte die Voraussetzung zum Rez.gesetz dummerweise
> überlesen
Jetzt bist du offenbar auf der richtigen Spur, schön.
Ciao
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Fr 04.01.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> ok, und wie zeigt man das formal???
Der Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes fällt nicht gerade vom Himmel, für dich ist erstmal wichtig, es richtig anzuwenden. Aber s. u.
Ciao
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Mathec |
Ok, ich denke auch, schau mirs aber lieber nochmal an!
Vielen Dank für deine Hilfe!!!
Mathec
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