innere Punkt - Berührpunkte < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 So 08.06.2008 | | Autor: | JulianTa |
Ich habe diese Frage in keinen Foren auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Wir haben grade in Ana II mit Topologie angefangen. Ich verstehe leider den Unterschied zwischen inneren Punkten und Berührpunkten nicht.
Haben nicht alle inneren Punkte x einer Teilmenge M [mm] \subset [/mm] X eine Umgebung U von [mm] x_0, [/mm] sodass U [mm] \subset [/mm] M? Und das ist doch gerade (genau?) dann, wenn der Durchschnitt zwischen Umgebung und M nicht-leer ist...
Wo also liegt der der Denkfehler/ Unterschied?
Danke
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> Ich habe diese Frage in keinen Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo!
> Wir haben grade in Ana II mit Topologie angefangen. Ich
> verstehe leider den Unterschied zwischen inneren Punkten
> und Berührpunkten nicht.
> Haben nicht alle inneren Punkte x einer Teilmenge M
> [mm]\subset[/mm] X eine Umgebung U von [mm]x_0,[/mm] sodass U [mm]\subset[/mm] M? Und
> das ist doch gerade (genau?) dann, wenn der Durchschnitt
> zwischen Umgebung und M nicht-leer ist...
> Wo also liegt der der Denkfehler/ Unterschied?
Bei einem inneren Punkt $x$ von $M$ muss es, wie Du richtig geschrieben hast, (mindestens) eine Umgebung $U$ von $x$ geben, die ganz in $M$ enthalten ist.
Nicht so beim Berührpunkt, dort wird verlangt, dass alle Umgebungen von $x$ mit $M$ einen nicht-leeren Durchschnitt haben. Was Du richtig bemerkt hast ist, dass ein innerer Punkt von $M$ immer auch ein Berührpunkt von $M$ ist. Die Umkehrung gilt nicht: es gibt (in der Regel) Berührpunkte von $M$ die keine inneren Punkte von $M$ sind. Beispiel: $0.5$ ist ein innerer Punkt des Intervalls $[0;1]$ von [mm] $\IR$ [/mm] (mit der üblichen Topologie), $0$ und $1$ sind Berührpunkte, die keine inneren Punkte dieses Intervalls sind.
Solche Punkte nennt man, nebenbei bemerkt, Randpunkte von $M$. Randpunke haben also die (definierende) Eigenschaft, dass alle ihre Umgebungen sowohl $M$ als auch das Komplement von $M$ schneiden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 So 08.06.2008 | | Autor: | JulianTa |
heisst das, dass berührpunkte immer entweder innere Punkte oder Randpunkte sind?
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> heisst das, dass berührpunkte immer entweder innere Punkte
> oder Randpunkte sind?
Ja. Wie Du selbst festgestellt hast, sind innere Punkte immer auch Berührpunkte (dies ist vielleicht, wenn man konventionelle Vorstellungen mit Berührung verbindet, etwas uninuitiv: Berührung, denken wir, geschieht immer "von aussen" - nicht so in der Topologie).
Berührpunkte, die keine inneren Punkte sind, sind notwendigerweise (gewissermassen definitionsgemäss) Randpunkte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Do 26.06.2008 | | Autor: | JulianTa |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So, ich glaube ich habe es fast verstanden:
Nehmen wir uns nochmal das Intervall A=[0;1] [mm] \subset \IR [/mm] versehen mit der Standardtopologie. (Kann mir jemand sagen, welche Mengen da genau offen sind?) Dann ist
(i) Beispiel für einen inneren Punkt: x= [mm] \frac{1}{2}, [/mm] da A Umgebung von x ist. Kein innerer Punkt ist zum Beispiel y= 0; 1; 2... da A für diese Punkte keine Umgebung ist, dass heisst es gibt keine offene Kugel, für die gilt [mm] B_{\epsilon}(y) \subset [/mm] A. So müsste es stimmen oder?
(ii) Beispiel für einen Berührpunkt: x= 1; 0,5; 0,9; 0, da jede Umgebung U von x mindestens einen Punkt aus A enthält. Kein Berührpunkt ist y = 2, da hier nicht jede Umgebung min einen Punkt aus A enthält.
(iii) Die einzigen existierenden Randpunkte sind 0 und 1, da nur für diese Punkte gilt, dass sie sowohl Berührpunkt von A als auch von [mm] \IR \backslash [/mm] A sind. (Wie wäre das dann beim Interval (0,1)? Sehe ich das richtig, dass das Intervall keine Randpunkte hat?)
(iv) Bei den Häufungspunkten hab ich allerdings keine Ahnung welche das sein sollen. Vielleicht so: Da A [mm] \subset \IR [/mm] ist, ist A überabzählbar, enthält also unendlich viele Punkte. Ein Häufungspunkt ist nach Definition ein Punkt, für den jede Umgebung U unendlich viele Punkte aus A enthält. Ist damit jeder Punkt aus A inkl. 0 und 1 ein Häufungspunkt? Und sind auch 0 und 1 Häufungspunkte des Intervalls (0;1) [mm] \subset \IR?
[/mm]
(v) Sehe ich das richtig, dass keine isolierten Punkte für A existieren? Begründung: Es existiert kein Punkt x , der eine Umgebung U hat mit U [mm] \cap [/mm] A = {x}.
Ein isolierter Punkt wäre ja z.b. 3 in der Menge [0,1] [mm] \cup [/mm] {3}, oder?
(vi) Schliesslich ein äußerer Punkt ist die 2, da z.B. die Umgebung von 2 (1,5; 2,5) [mm] \cap [/mm] [0,1] = [mm] \emptyset [/mm] ist.
Vielen Dank schon einmal im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Do 26.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> So, ich glaube ich habe es fast verstanden:
> Nehmen wir uns nochmal das Intervall A=[0;1] [mm]\subset \IR[/mm]
> versehen mit der Standardtopologie. (Kann mir jemand sagen,
> welche Mengen da genau offen sind?) Dann ist
Alle Intervalle der Form (a,b) mit [mm]\infty\le a < b\le\infty[/mm], sowie alle möglichen Vereinigungen dieser Intervalle.
> (i) Beispiel für einen inneren Punkt: x= [mm]\frac{1}{2},[/mm] da A
> Umgebung von x ist. Kein innerer Punkt ist zum Beispiel y=
> 0; 1; 2... da A für diese Punkte keine Umgebung ist, dass
> heisst es gibt keine offene Kugel, für die gilt
> [mm]B_{\epsilon}(y) \subset[/mm] A. So müsste es stimmen oder?
Richtig.
> (ii) Beispiel für einen Berührpunkt: x= 1; 0,5; 0,9; 0, da
> jede Umgebung U von x mindestens einen Punkt aus A enthält.
> Kein Berührpunkt ist y = 2, da hier nicht jede Umgebung min
> einen Punkt aus A enthält.
Richtig.
> (iii) Die einzigen existierenden Randpunkte sind 0 und 1,
> da nur für diese Punkte gilt, dass sie sowohl Berührpunkt
> von A als auch von [mm]\IR \backslash[/mm] A sind. (Wie wäre das
> dann beim Interval (0,1)? Sehe ich das richtig, dass das
> Intervall keine Randpunkte hat?)
Richtig. (Richtig.)
> (iv) Bei den Häufungspunkten hab ich allerdings keine
> Ahnung welche das sein sollen. Vielleicht so: Da A [mm]\subset \IR[/mm]
> ist, ist A überabzählbar, enthält also unendlich viele
> Punkte. Ein Häufungspunkt ist nach Definition ein Punkt,
> für den jede Umgebung U unendlich viele Punkte aus A
> enthält. Ist damit jeder Punkt aus A inkl. 0 und 1 ein
> Häufungspunkt? Und sind auch 0 und 1 Häufungspunkte des
> Intervalls (0;1) [mm]\subset \IR?[/mm]
Es ist genauso wie bei den Berührpunkten, nur das hierbei der Punkt selber nicht betrachtet werden darf.
Z.B. ist bei [mm][0,1] \cup \{2\}[/mm] jeder Punkt der Menge ein Berührpunkt, aber nur die Punkte in [0,1] sind Häufungspunkte, denn es gibt eine Umgebung um [mm] \{2\}, [/mm] in der kein Punkt der Menge, ausser [mm] \{2\} [/mm] selbst, liegt.
Du kannst es so definieren: Ein Punkt [mm] x_0 [/mm] ist Häufungspunkt von A, wenn in jeder Umgebung von [mm] x_0 [/mm] ein von [mm] x_0 [/mm] verschiedener Punkt von A liegt.
> (v) Sehe ich das richtig,
> dass keine isolierten Punkte für A existieren? Begründung:
> Es existiert kein Punkt x , der eine Umgebung U hat mit U
> [mm]\cap[/mm] A = {x}.
> Ein isolierter Punkt wäre ja z.b. 3 in der Menge [0,1] [mm]\cup[/mm]
> {3}, oder?
Richtig.
> (vi) Schliesslich ein äußerer Punkt ist die 2, da z.B. die
> Umgebung von 2 (1,5; 2,5) [mm]\cap[/mm] [0,1] = [mm]\emptyset[/mm] ist.
Richtig.
>
> Vielen Dank schon einmal im voraus!
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