innere Punkte u.Häufungspunkte < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:24 Sa 13.12.2014 | | Autor: | mathe-assi |
| Aufgabe 1 | Man bestimme jeweils die Menge aller inneren Punkte und Häufungspunkte von M.
M = { [mm] \bruch{1}{n}+\bruch{1}{m} [/mm] | m, n [mm] \in \IN [/mm] } |
| Aufgabe 2 | | M = { [mm] \bruch{1}{2n+x} [/mm] | n [mm] \in \IN, [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1] } |
Naja - zur Aufgabe 1 stelle ich mir vor, dass für die Elemente gelten müsste $ [mm] 0
Bei der Schreibweise bin ich mir noch nicht klar - Häufungspunkt würde ich einen vermuten: bei 0.
So ähnlich würde ich bei 2 auch verfahren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Sa 13.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man bestimme jeweils die Menge aller inneren Punkte und
> Häufungspunkte von M.
>
> M = [mm]\{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{m} | m, n \in \IN\}[/mm]
es gilt $0 < x [mm] \le \red{\,2}$ [/mm] für alle $x [mm] \in M\,,$ [/mm] mach' Dir das bitte klar. Die Menge [mm] $H(M)\,$ [/mm]
der Häufungspunkte von [mm] $M\,$ [/mm] ist
[mm] ($\*$) $H(M)=\{\tfrac{1}{n} \mid n \in \IN\} \cup \{0\}\,.$
[/mm]
Um das einzusehen: Wegen
[mm] $M=\bigcup_{n \in \IN}\{\tfrac{1}{n}+\tfrac{1}{m} \mid m \in \IN\}$
[/mm]
sieht man in [mm] $(\*)$, [/mm] dass die erste Menge rechterhand nach dem = Teilmenge
von H(M) ist. Damit folgert man auch schnell $0 [mm] \in H(M)\,.$
[/mm]
Um $H(M) [mm] \subseteq$ [/mm] rechte Menge von [mm] ($\*$) [/mm] einzusehen: Sei $x [mm] \in H(M)\,.$ [/mm] Dann gibt es
eine Folge [mm] $x_k=\frac{1}{n_k}+\frac{1}{m_k} \to [/mm] x$ bei $k [mm] \to \infty,$ [/mm] wobei alle [mm] $m_k,n_k \in \IN\,,$
[/mm]
und [mm] $x_k \not=x$ [/mm] für alle [mm] $k\,.$
[/mm]
1. Fall: [mm] $(1/n_k)_k$ [/mm] konvergiere (überlege Dir, welcher Bauart der Grenzwert nur
sein kann - er ist entweder 0 oder er hat die Form...?). Dann konvergiert auch
[mm] $(1/m_k)_k$ [/mm] gegen ein ...
(Das kannst Du sicher selbst noch zu Ende führen!)
2. Fall: [mm] $(1/n_k)_k$ [/mm] divergiere. Dann divergiert auch [mm] $(1/m_k)_k$, [/mm] denn andernfalls...?
[mm] $\alpha)$ [/mm] Überlege Dir, was los ist, wenn nun eine der beiden Folgen beschränkt ist.
(Hinweis: Bolzano-Weierstraß!)
[mm] $\beta)$ [/mm] Überlege Dir, was los ist, wenn beide Folgen unbeschränkt sind!
Zur Menge der inneren Punkte: Überlege Dir, dass es keine inneren Punkte
gibt:
Angenommen, dem wäre nicht so. Dann gibt es also $n,m [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass
[mm] $x=\frac{1}{n}+\frac{1}{m}$
[/mm]
innerer Punkt ist. Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass
[mm] $U_\epsilon(x) \subseteq M\,.$
[/mm]
O.E. kann dabei ein
[mm] $\epsilon=2*\sqrt{2}/N$
[/mm]
mit einem genügend großen $N [mm] \in \IN$ [/mm] gefunden werden. Dann gilt für
[mm] $y:=x+\epsilon/2$
[/mm]
sicher $y [mm] \in U_{\epsilon}(x),$ [/mm] aber wegen
[mm] $y=\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{\sqrt{2}}{N} \in \IR \setminus \IQ$
[/mm]
und $M [mm] \subseteq \IQ$ [/mm] gilt sicher $y [mm] \notin [/mm] M$.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Sa 13.12.2014 | | Autor: | mathe-assi |
Natürlich 2!!! 1+1=2 !!! (Korrigierte ich jetzt auch!)
Den Rest lese ich morgen in aller Rühle.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 So 14.12.2014 | | Autor: | mathe-assi |
So, das habe ich jetzt in Ruhe auf mich wirken lassen...
Muss ich den Beweis für die Menge der Häufungspunkte so kompliziert gestalten? Oder war das nur ein Hinweis, was im "Normalfall" alles zu beachten wäre - denn hier haben wir ja den einfachen Fall, dass sowohl [mm] \bruch{1}{n} [/mm] als auch [mm] \bruch{1}{m} [/mm] beschränkte, monotone und damit konvergente (Null-)Folgen sind, so dass jeweils nur die eine oder die andere zu betrachten ist - und Null als weiterer Häufungspunkt, da Grenzwert der jeweils verbleibenden Folge.
Der Beweis für die inneren Punkte ist verblüffend einfach und einleuchtend.
Dann werde ich mich jetzt mal an Aufgabe 2 begeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 So 14.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> So, das habe ich jetzt in Ruhe auf mich wirken lassen...
>
> Muss ich den Beweis für die Menge der Häufungspunkte so
> kompliziert gestalten? Oder war das nur ein Hinweis, was im
> "Normalfall" alles zu beachten wäre - denn hier haben wir
> ja den einfachen Fall, dass sowohl [mm]\bruch{1}{n}[/mm] als auch
> [mm]\bruch{1}{m}[/mm] beschränkte, monotone und damit konvergente
> (Null-)Folgen sind, so dass jeweils nur die eine oder die
> andere zu betrachten ist - und Null als weiterer
> Häufungspunkt, da Grenzwert der jeweils verbleibenden
> Folge.
es ist ersichtlich, dass in
[mm] $\{1/n: \;\; n \in \IN\} \cup \{0\}$
[/mm]
Häufungspunkt von M drin vorkommen. Ich finde es aber nicht wirklich ersichtlich,
dass wir darin auch schon alle HP von M drin haben. Die Frage ist auch:
Ist überhaupt ein Beweis verlangt? Oder soll die Menge H=H(M) nur
angegeben werden.
Falls ein Beweis verlangt ist und Du eine bessere Idee hast, darfst Du
sie natürlich gerne präsentieren! 
Gruß,
Marcel
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Es sollten nur die HP und die inneren Punkte bestimmt werden.
Deine Bestimmung der HP mit den vielen Fallunterscheidungen schien mir so kompliziert, da hier ja nur zwei Nullfolgen addiert werden?!
Bei der zweiten Aufgabe bin ich (zunächst?!) zum Schluss gekommen, die Menge der Häufungspunkte sei im Intervall [mm] [0,\bruch{1}{2}] [/mm] zu finden, die inneren Punkte in [mm] (0,\bruch{1}{2}).
[/mm]
Schwierigkeiten bereitet mir die Definition der HP: ... falls in jeder [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von x wenigstens ein weiterer Punkt (neben x) liegt" soll äquivalent sein soll mit " ... liegen unendlich viele Punkte ..."?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:53 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sollten nur die HP und die inneren Punkte bestimmt
> werden.
>
> Deine Bestimmung der HP mit den vielen Fallunterscheidungen
> schien mir so kompliziert, da hier ja nur zwei Nullfolgen
> addiert werden?!
>
> Bei der zweiten Aufgabe bin ich (zunächst?!) zum Schluss
> gekommen, die Menge der Häufungspunkte sei im Intervall
> [mm][0,\bruch{1}{2}][/mm] zu finden, die inneren Punkte in
> [mm](0,\bruch{1}{2}).[/mm]
>
> Schwierigkeiten bereitet mir die Definition der HP: ...
> falls in jeder [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung von x wenigstens ein
> weiterer Punkt (neben x) liegt" soll äquivalent sein soll
> mit " ... liegen unendlich viele Punkte ..."?
Sei A eine nichtleere Teilmenge von [mm] \IR.
[/mm]
Def.1: x ist ein Häufungspunkt (HP) von A, wenn in jeder [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von x ein von x verschiedener Punkt aus A liegt.
Def. 2: x ist ein Fredpunkt (FP) von A , wenn in jeder [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von x unendlich viele Punkte aus A liegen.
Satz: x ist ein HP von A [mm] \gdw [/mm] x ist ein FP von A.
Beweis: [mm] "\Leftarrow" [/mm] ist klar.
[mm] "\Rightarrow": [/mm] sei x ein HP von A und [mm] \varepsilon [/mm] >0. Für r>0 sei [mm] U_r:=(x-r,x+r).
[/mm]
Nach Vor. ex. ein [mm] x_1 [/mm] in A mit [mm] x_1 \ne [/mm] x und [mm] x_1 \in U_{\varepsilon}.
[/mm]
Dann ist [mm] \varepsilon_1:=|x-x_1|>0 [/mm] , [mm] x_1 \notin U_{\varepsilon_1} [/mm] und
[mm] U_{\varepsilon_1} \subseteq U_{\varepsilon}.
[/mm]
Nach Vor. ex. ein [mm] x_2 [/mm] in A mit [mm] x_2 \ne [/mm] x und [mm] x_2 \in U_{\varepsilon_1}.
[/mm]
Dann ist [mm] x_2 \ne x_1 [/mm] .
Setze [mm] \varepsilon_2:=|x-x_2|. [/mm] Wir haben:
[mm] x_2 \notin U_{\varepsilon_2} [/mm] und
[mm] U_{\varepsilon_2} \subseteq U_{\varepsilon_1} \subseteq U_{\varepsilon}.
[/mm]
Induktiv fortfahrend bekommen wir eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit:
[mm] x_n \in [/mm] A und [mm] x_n \in U_{\varepsilon} [/mm] für alle n,
[mm] x_n \ne x_m [/mm] für n [mm] \ne [/mm] m
und
[mm] x_n \ne [/mm] x für alle n.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Es sollten nur die HP und die inneren Punkte bestimmt
> > werden.
> >
> > Deine Bestimmung der HP mit den vielen Fallunterscheidungen
> > schien mir so kompliziert, da hier ja nur zwei Nullfolgen
> > addiert werden?!
> >
> > Bei der zweiten Aufgabe bin ich (zunächst?!) zum Schluss
> > gekommen, die Menge der Häufungspunkte sei im Intervall
> > [mm][0,\bruch{1}{2}][/mm] zu finden, die inneren Punkte in
> > [mm](0,\bruch{1}{2}).[/mm]
> >
> > Schwierigkeiten bereitet mir die Definition der HP: ...
> > falls in jeder [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung von x wenigstens ein
> > weiterer Punkt (neben x) liegt" soll äquivalent sein soll
> > mit " ... liegen unendlich viele Punkte ..."?
>
>
> Sei A eine nichtleere Teilmenge von [mm]\IR.[/mm]
>
> Def.1: x ist ein Häufungspunkt (HP) von A, wenn in jeder
> [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung von x noch ein weiterer von x
> verschiedener Punkt aus A liegt.
>
> Def. 2: x ist ein Fredpunkt (FP) von A , wenn in jeder
> [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung von x unendlich viele Punkte aus A
> liegen.
kann man diese Bezeichung bitte in die Lehrbücher aufnehmen? ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
>
> > Def. 2: x ist ein Fredpunkt (FP) von A , wenn in jeder
> > [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung von x unendlich viele Punkte aus A
> > liegen.
>
> kann man diese Bezeichung bitte in die Lehrbücher
> aufnehmen?
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
ich mache Dir einen Vorschlag: erfinde den Semi-Marcelpunkt. Dann schreiben wir eine Arbeit mit dem Titel
"On semi-Marcel-, Fred- and Hoifoongspoints in topological spaces".
Diese Arbeit publizieren wir und bekommen vielleicht die Fields-Medaille.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> >
> > > Def. 2: x ist ein Fredpunkt (FP) von A , wenn in jeder
> > > [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung von x unendlich viele Punkte aus A
> > > liegen.
> >
> > kann man diese Bezeichung bitte in die Lehrbücher
> > aufnehmen?
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Hallo Marcel,
>
> ich mache Dir einen Vorschlag: erfinde den
> Semi-Marcelpunkt. Dann schreiben wir eine Arbeit mit dem
> Titel
>
> "On semi-Marcel-, Fred- and Hoifoongspoints in topological
> spaces".
>
> Diese Arbeit publizieren wir und bekommen vielleicht die
> Fields-Medaille.
sei $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] nicht leer. Ein Punkt $x [mm] \in [/mm] M$ heißt linker
Semi-Marcelpunkt (von M), falls es ein $r=r(x) > [mm] x\,$ [/mm] mit $[x,r) [mm] \subseteq [/mm] M$ gibt.
Ein Punkt $x [mm] \in [/mm] M$ heißt rechter Semi-Marcelpunkt (von M), falls
es ein [mm] $\ell=\ell(x) [/mm] < [mm] x\,$ [/mm] mit [mm] $(\ell,x] \subseteq [/mm] M$ gibt.
Alle Punkte $x [mm] \in [/mm] M$, die rechte oder linke Semi-Marcelpunkte sind,
heißen Semi-Marcelpunkte.
Satz: Ist $x [mm] \in [/mm] M$ sowohl rechter als auch linker Semi-Marcelpunkt, so
ist $x [mm] \in M^\text{o}$.
[/mm]
Beweis: Trivial: Es ist
[mm] $U_\epsilon(x) \subseteq [/mm] M$
für [mm] $\epsilon:=\min\{|\ell-x|,\;|r-x|\}.$ [/mm] (Dabei [mm] $\ell=\ell(x)$ [/mm] und $r=r(x)$ gefunden gemäß
Definition!)
P.S. Leider kann ich eine solche Definition nicht auf beliebige metrische
Räume *ausdehnen*. Für [mm] $\IR^n$ [/mm] hätte ich eine Variante, aber dann stimmt
der (angepasste) Satz dann nicht mehr... ![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]")
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sollten nur die HP und die inneren Punkte bestimmt
> werden.
>
> Deine Bestimmung der HP mit den vielen Fallunterscheidungen
> schien mir so kompliziert, da hier ja nur zwei Nullfolgen
> addiert werden?!
da werden nicht notwendig Nullfolgen addiert. Du weißt doch gar nicht,
wie die $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] in der Definition "laufen". Die Folge [mm] $(x_m)$ [/mm] mit
[mm] $x_m=\frac{1}{7}+\frac{1}{m}$
[/mm]
ist eine Folge von Punkten der Menge, die "nicht als die Summe zweier
Nullfolgen" schreibbar ist.
Die Folge
[mm] $(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5}, \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5}, \ldots)$
[/mm]
ist eine konstante Folge mit Elementen der Menge, die keine Nullfolge
ist.
Die Folge [mm] $(y_n)$ [/mm] mit
[mm] $y_n=\frac{1}{2}+(-1)^n*\frac{1}{5}$
[/mm]
ist eine Folge von Elementen der Menge, die divergiert.
In der Mengennotation steht doch nirgendwo, dass man Folgen mit Elementen
der Menge nur nach einer gewissen Reihenfolge bilden darf.
Ich meine:
[mm] $(1/n)_n$
[/mm]
ist auch eine Nullfolge. Aber es gibt wesentlich mehr Folgen
[mm] $\IN \to \{1/m:\;\; m \in \IN\},$
[/mm]
etwa
[mm] $(1/2,1/3,1/2,1/3,1/2,1/3,\ldots)$
[/mm]
wäre auch eine Folge aus [mm] $\{1/m:\;\; m \in \IN\}$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Mi 17.12.2014 | | Autor: | mathe-assi |
> >
> da werden nicht notwendig Nullfolgen addiert. Du weißt
> doch gar nicht,
> wie die [mm]m,n \in \IN[/mm] in der Definition "laufen". Die Folge
> [mm](x_m)[/mm] mit
>
> [mm]x_m=\frac{1}{7}+\frac{1}{m}[/mm]
>
> ist eine Folge von Punkten der Menge, die "nicht als die
> Summe zweier
> Nullfolgen" schreibbar ist.
>
> Die Folge
>
> [mm](\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5}, \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5}, \ldots)[/mm]
>
> ist eine konstante Folge mit Elementen der Menge, die keine
> Nullfolge
> ist.
>
> Die Folge [mm](y_n)[/mm] mit
>
> [mm]y_n=\frac{1}{2}+(-1)^n*\frac{1}{5}[/mm]
>
> ist eine Folge von Elementen der Menge, die divergiert.
>
> In der Mengennotation steht doch nirgendwo, dass man Folgen
> mit Elementen
> der Menge nur nach einer gewissen Reihenfolge bilden darf.
Das habe ich mir gar nicht so wirklich klar gemacht.
> Ich meine:
>
> [mm](1/n)_n[/mm]
>
> ist auch eine Nullfolge. Aber es gibt wesentlich mehr
> Folgen
>
> [mm]\IN \to \{1/m:\;\; m \in \IN\},[/mm]
>
> etwa
>
> [mm](1/2,1/3,1/2,1/3,1/2,1/3,\ldots)[/mm]
>
> wäre auch eine Folge aus [mm]\{1/m:\;\; m \in \IN\}[/mm].
>
> Gruß,
> Marcel
Ja, das ist wohl alles wahr. Angesichts der wenigen (2) Punkte für diese Aufgabe lasse ich es aber wohl mit der "Kurzfassung" bewenden, vor allem, weil ich glaube, der wichtigere Punkt ist die Erkenntnis zu den inneren Punkten.
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