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hallo ,
habe folgende formel I(t)= [mm] I_0 cos(w*t)*e^{-t/\tau}
[/mm]
die transportierte Ladungsmenge soll errechnet werden..
[mm] Q=I_0\integral [/mm] I(t)
so wie kann ich am besten vorgehen, 2xpartiell integrieren mit substitution ? mein e wird nicht verschwinden und mein cos(wt) auch nicht, ich habe keine ahnung wie ich das packet behandeln muss, kann mir irgendwer eine hilfe bzw tipp hierfür geben,,, vielen dank......
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Hallo martina.m18,
> hallo ,
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> habe folgende formel I(t)= [mm]I_0 cos(w*t)*e^{-t/\tau}[/mm]
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> die transportierte Ladungsmenge soll errechnet werden..
>
> [mm]Q=I_0\integral[/mm] I(t)
>
> so wie kann ich am besten vorgehen, 2xpartiell integrieren
> mit substitution ? mein e wird nicht verschwinden und mein
> cos(wt) auch nicht, ich habe keine ahnung wie ich das
> packet behandeln muss, kann mir irgendwer eine hilfe bzw
> tipp hierfür geben,,, vielen dank......
Die Idee mit der zweimaligen Anwendung der partiellen Integration
ist richtig, aber dann ohne Substitution.
Wenn Du allerdings die komplexe Rechnung verwendest,
dann ist die Berechnung des Integrals wesentlich einfacher.
Zu Beachten ist hier allerdings, daß der Realteil dieser Stammfunktion
das in der Aufgabe gestellte Integral löst.
Gruss
MathePower
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$ [mm] I_0 cos(w\cdot{}t)\cdot{}e^{-t/\tau} [/mm] $
[mm] Q\integral I_0 cos(w\cdot{}t)\cdot{}e^{-t/\tau}
[/mm]
[mm] I_0\integral cos(w\cdot{}t)\cdot{}e^{-t/\tau}
[/mm]
u´=cos(wt) [mm] v=e^{-t/\tau}
[/mm]
I.) u*v - [mm] \integral [/mm] u* v´
[mm] =-sin(w*t)1/w*e^{-t/\tau}-\integral -sin(w*t)1/w*-\tau*e^{-t/\tau}
[/mm]
hallo danke für die bisherige bearbeitung, ist mein ansatz so richtig kann ich so weiterrechnen?
[mm] =-sin(w*t)1/w*e^{-t/\tau}
[/mm]
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Hallo martina.m18,
> [mm]I_0 cos(w\cdot{}t)\cdot{}e^{-t/\tau}[/mm]
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> [mm]Q\integral I_0 cos(w\cdot{}t)\cdot{}e^{-t/\tau}[/mm]
>
> [mm]I_0\integral cos(w\cdot{}t)\cdot{}e^{-t/\tau}[/mm]
>
> u´=cos(wt) [mm]v=e^{-t/\tau}[/mm]
>
> I.) u*v - [mm]\integral[/mm] u* v´
> [mm]=-sin(w*t)1/w*e^{-t/\tau}-\integral -sin(w*t)1/w*-\tau*e^{-t/\tau}[/mm]
Statt v zu differenzieren, hast Du hier v integriert:
[mm]=-sin(w*t)1/w*e^{-t/\tau}-\integral_{}^{}{-sin(w*t)1/w*\red{\left(-\bruch{1}{\tau}\right)*e^{-t/\tau}} \ dt}[/mm]
>
> hallo danke für die bisherige bearbeitung, ist mein ansatz
> so richtig kann ich so weiterrechnen?
> [mm]=-sin(w*t)1/w*e^{-t/\tau}[/mm]
>
Gruss
MathePower
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[mm] =I_0*[-sin(w\cdot{}t)1/w\cdot{}e^{-t/\tau}-\integral_{}^{}{-sin(w\cdot{}t)1/w\cdot{}{\left(-\bruch{1}{\tau}\right)\cdot{}e^{-t/\tau}} \ dt} [/mm] ]
[mm] =I_0 *[-sin(w*t)1/w*e^-t/\tau [/mm] + cos(w*t) [mm] 1/w^2 *(\bruch{1}{\tau})*e^{-t/\tau}+\integral cos(w*t)*1/w^2*(\bruch{1}{\tau^2})*e^{-t/\tau} [/mm] dt]
ich kann die funktion nie zerlegen da ich durch die part. integ. meine e bzw cos funktion nicht beseitigen kann. wie muss ich jetzt weitermachen, wenn ich z.b meine integrationsgrenzen [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_0 [/mm] einsetzen möchte. vielen dank im voraus
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Hallo martina.m18,
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> [mm]=I_0*[-sin(w\cdot{}t)1/w\cdot{}e^{-t/\tau}-\integral_{}^{}{-sin(w\cdot{}t)1/w\cdot{}{\left(-\bruch{1}{\tau}\right)\cdot{}e^{-t/\tau}} \ dt}[/mm]
> ]
>
> [mm]=I_0 *[-sin(w*t)1/w*e^-t/\tau[/mm] + cos(w*t) [mm]1/w^2 *(\bruch{1}{\tau})*e^{-t/\tau}+\integral cos(w*t)*1/w^2*(\bruch{1}{\tau^2})*e^{-t/\tau}[/mm]
> dt]
Hier haben sich mehrere Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]=I_0 *[\red{+}sin(w*t)1/w*e^-t/\tau \red{-} cos(w*t) 1/w^2 *(\bruch{1}{\tau})*e^{-t/\tau}\red{-}\integral_{}^{}{ cos(w*t)*1/w^2*(\bruch{1}{\tau^2})*e^{-t/\tau} \ dt}[/mm]
>
> ich kann die funktion nie zerlegen da ich durch die part.
> integ. meine e bzw cos funktion nicht beseitigen kann. wie
> muss ich jetzt weitermachen, wenn ich z.b meine
> integrationsgrenzen [mm]t_1[/mm] und [mm]t_0[/mm] einsetzen möchte. vielen
> dank im voraus
Nun, Du stellst jetzt fest, daß der Integrand im Integral auf der rechten Seite eine ähnliche Gestalt hat, wie der Integrand des Ausgangsintegrals.
Bringe deshalb dieses Integral auf die linke Seite,
und Du kannst die Stammfunktion des Ausgangsintegrals angeben.
Natürlich kannst Du die partielle Integration auch mit vorgegebenen Grenzen durchführen.
Gruss
MathePower
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hallo mathepower,
danke für deine hilfe:
$ [mm] =I_0 \cdot{}[\red{+}sin(w\cdot{}t)1/w\cdot{}e^-t/\tau \red{-} cos(w\cdot{}t) 1/w^2 \cdot{}(\bruch{1}{\tau})\cdot{}e^{-t/\tau}\red{-}\integral_{}^{}{ cos(w\cdot{}t)\cdot{}1/w^2\cdot{}(\bruch{1}{\tau^2})\cdot{}e^{-t/\tau} \ dt} [/mm] $
.... also ich löse jetzt auf dividiere auf beiden Seiten das [mm] I_O [/mm] weg und ziehe durch mein integral zunächst auf die linke seit
[mm] \integral [/mm] cos(w*t) [mm] *e^{-t/\tau} [/mm] * [mm] (1+1/\tau²*w²)=\cdot{}[\red{+}sin(w\cdot{}t)1/w\cdot{}e^-t/\tau \red{-} cos(w\cdot{}t) 1/w^2 \cdot{}(\bruch{1}{\tau})\cdot{}e^{-t/\tau}]
[/mm]
ich vereinfache
[mm] =I_0[ e^{-t/\tau}*\bruch{1}{w}*\bruch{sin(w*t)-cos(w*t)*\bruch{1}{(w*\tau)}}{(1+\bruch{1}{(w*\tau)^2})}]
[/mm]
habe irgendwie die vermutung das die stammfunktion immer noch nicht stimmt.
gruss martina....
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Hallo martina.m18,
> hallo mathepower,
> danke für deine hilfe:
>
> [mm]=I_0 \cdot{}[\red{+}sin(w\cdot{}t)1/w\cdot{}e^-t/\tau \red{-} cos(w\cdot{}t) 1/w^2 \cdot{}(\bruch{1}{\tau})\cdot{}e^{-t/\tau}\red{-}\integral_{}^{}{ cos(w\cdot{}t)\cdot{}1/w^2\cdot{}(\bruch{1}{\tau^2})\cdot{}e^{-t/\tau} \ dt}[/mm]
>
> .... also ich löse jetzt auf dividiere auf beiden Seiten
> das [mm]I_O[/mm] weg und ziehe durch mein integral zunächst auf die
> linke seit
>
> [mm]\integral[/mm] cos(w*t) [mm]*e^{-t/\tau}[/mm] *
> [mm](1+1/\tau²*w²)=\cdot{}[\red{+}sin(w\cdot{}t)1/w\cdot{}e^-t/\tau \red{-} cos(w\cdot{}t) 1/w^2 \cdot{}(\bruch{1}{\tau})\cdot{}e^{-t/\tau}][/mm]
>
> ich vereinfache
> [mm]=I_0[ e^{-t/\tau}*\bruch{1}{w}*\bruch{sin(w*t)-cos(w*t)*\bruch{1}{(w*\tau)}}{(1+\bruch{1}{(w*\tau)^2})}][/mm]
>
> habe irgendwie die vermutung das die stammfunktion immer
> noch nicht stimmt.
Die Stammfunktion stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt kannst Du das noch etwas handlicher schreiben,
z.B. mit [mm]w^{2}*\tau^{2}[/mm] durchmultiplizieren.
> gruss martina....
Gruss
MathePower
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vielen dank für deine hilfe
lg
martina
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