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integrale - rotationskörper: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Mo 25.06.2007
Autor: laughy

Aufgabe
Kegelstumpf
Die Formel für das Volumen des Kegelstumpfs mit den Radius R und r und der Höhe h soll hergeleitet werden

a) Das Kegelvolumen lässte sich als Rotationsvolumen darstellen. Begründen Sie dies anhand der Skizze

b)Zeigen Sie, dass die als Randkurve verwendete Ursprungsgrade die Steigung m= R-r/h hat.

c) Weisen Sie nach, dass a=r*h/R-r und b=R*h/R-r die Integrationsgrenzen sind.

d) Berechnen Sie das Rotationsvolumen des Kegelstumpfes.


Hab absolut keinen Plan, wie das geht. Kann wer helfen?



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
integrale - rotationskörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Mo 25.06.2007
Autor: Somebody


> Kegelstumpf
> Die Formel für das Volumen des Kegelstumpfs mit den Radius
> R und r und der Höhe h soll hergeleitet werden
>  
> a) Das Kegelvolumen lässte sich als Rotationsvolumen
> darstellen. Begründen Sie dies anhand der Skizze

[Dateianhang nicht öffentlich]


>  
> b)Zeigen Sie, dass die als Randkurve verwendete
> Ursprungsgrade die Steigung m= R-r/h hat.

Dies besagt: Du sollst den Kegelstumpf zum Kegel verlängert mit der Spitze in den Ursprung legen und die x-Achse als Kegelachse verwenden, wie in der obigen Skizze.
Dann siehst Du, dass, aufgrund des eingezeichneten Steigungsdreiecks, die Steigung [mm]m[/mm] der Geraden [mm]g: y=mx[/mm], die die Randkurve des Kegel(stumpfes) bildet, den angegebenen Wert [mm]m=\frac{R-r}{h}[/mm] haben muss.

>

> c) Weisen Sie nach, dass a=r*h/R-r und b=R*h/R-r die
> Integrationsgrenzen sind.

Dies sind einfach die x-Koordinaten der Endpunkte [mm](a,r)[/mm] und [mm](b,R)[/mm] der auf der Geraden [mm]g[/mm] liegenden Mantellinie des Kegelstumpfes bilden.
Durch Einsetzen der Koordinaten dieser beiden Punkte in die Geradengleichung von [mm]g: y=\frac{R-r}{h}\cdot x[/mm] für x bzw. y erhältst Du je eine Bestimmungsgleichung für [mm]a[/mm] bzw. [mm]b[/mm], nämlich
[mm]r=\frac{R-r}{h}\cdot a[/mm]

und
[mm]R=\frac{R-r}{h}\cdot b[/mm]

Diese Gleichungen löst Du nach [mm]a[/mm] bzw. [mm]b[/mm] auf (den diese x-Koordinaten benötigst Du als Integrationsgrenzen bei der Berechnung des Rotationsvolumens).

>  
> d) Berechnen Sie das Rotationsvolumen des Kegelstumpfes.

Siehe Formelsammlung (oder eigener Kopf, je nach Bauart):
[mm]V=\pi \cdot \int_a^b(g(x))^2\, dx[/mm]


> Hab absolut keinen Plan, wie das geht. Kann wer helfen?



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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