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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:40 So 26.06.2005 | | Autor: | Mathe-loser |
hi
Nun bin ich endlcih mal bei den Integralen angekommen da finde ich schon das nächste Problem  1. Mal wie bestimme ich den immer die Grenzen ? 2. Stimmt meine lösung?
Also ich habe folgende Aufgabe
Es sei B das Im ersten Oktanten gelegene Stück der Einheitskugel (d.h.
B:= {(x,y,z)|x>=0.y>=0, z>=0, [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] <=1})
Berechenn sie [mm] \integral_{B}^{.} {X^3*y^2 dV}
[/mm]
Ich habe mal die grenzen von 0 -1 gewählt und habe dann das integral berechnet und erhalte dafür 1/12 kann das sein
Wie kann ich vorgehen um in ähnlichen aufgaben die grenzen zu bestimmen?
gruß
Mathe Loser
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Hallo,
hier ein Paar tipps, wie man bei solchen Problemen vorgeht.
Gegeben ist eine Menge B = {(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | x [mm] \ge [/mm] 0, y [mm] \ge [/mm] 0, z [mm] \ge [/mm] 0 und [mm] x^2+y^2+z^2 \le [/mm] 1}.
1. Schritt: Stell dir die Menge B anschaulisch vor:
Hier: Alle Koordinaten positiv und rrfüllen die Gleichung der Einheitssphäre, also ist B ein Teil der Einheitssphäre mit x [mm] \ge [/mm] 0, y [mm] \ge [/mm] 0, z [mm] \ge [/mm] 0. Hast du das geschafft (die Veranschaulichung von B), dann ist die Aufgabe fast gelöst.
2. Scritt: Eine geignete Parametrisierung suchen.
Wenn du jetzt einfach die Grenzen von 0 bis 1 einsetzt, dann integrierst du nicht mehr über B, sondern über eine andere Menge. Ausserdem erfüllen diese Grenzen die Gleichung
[mm] x^2+y^2+z^2 \le [/mm] 1 NICHT. Setze x = y = z = 1 ein, dann hast [mm] 1^2 [/mm] + [mm] 1^2 [/mm] + [mm] 1^2 \le [/mm] 1, was nicht wahr ist. Hier empfiehlt sich Kugelkoordinaten zu benutzen, dann sieht B so aus:
B = { [mm] \vektor{x \\ y \\z} \in \IR^3 [/mm] | [mm] \vektor{x \\ y \\z} [/mm] = [mm] \vektor{r sin\theta cos\phi \\ r sin\theta sin\phi \\ r cos\theta} [/mm] mit r [mm] \in [/mm] [0,1], [mm] \theta \in [/mm] [0, [mm] \bruch{\pi}{2}], \phi \in [0,\bruch{\pi}{2}] [/mm] }.
3. Scritt: Einsetzten in das Integral und losrechnen.
gruss,
logarithmus
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:46 So 26.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Nun bin ich endlcih mal bei den Integralen angekommen da
> finde ich schon das nächste Problem 1. Mal wie bestimme
> ich den immer die Grenzen ? 2. Stimmt meine lösung?
Also, damit hatte ich auch immer Probleme. Du müsstest hier eigentlich irgendwo auch noch eine ähnliche Aufgabe von mir finden, wo mir so etwas erklärt wurde (ich glaub, Paulus hat es erklärt). Du kannst ja mal rechts oben mit der Suche danach suchen, es müsste auch eine Uni-Analysis Frage gewesen sein.
> Also ich habe folgende Aufgabe
>
> Es sei B das Im ersten Oktanten gelegene Stück der
> Einheitskugel (d.h.
>
> B:= {(x,y,z)|x>=0.y>=0, z>=0, [mm] x^2+y^2+z^2<=1})
[/mm]
>
> Berechenn sie [mm]\integral_{B}^{.} {X^3*y^2 dV}[/mm]
>
> Ich habe mal die grenzen von 0 -1 gewählt und habe dann das
> integral berechnet und erhalte dafür 1/12 kann das sein
Ob das sein kann, kannst du in diesem Fall recht einfach kontrollieren: du hast ja ein Achtel der Einheitskugel im [mm] \IR^3. [/mm] Das komplette Volumen der Einheitskugel kannst du mit der (geometrischen) Formel für eine Kugel berechnen, und dann einfach durch 8 teilen. Ich meine, da müsste irgendwas mit [mm] \pi [/mm] rauskommen...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
> > Es sei B das Im ersten Oktanten gelegene Stück der
> > Einheitskugel (d.h.
> >
> > B:= {(x,y,z) | x>=0. y>=0, z>=0, [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] <= 1} )
> >
> > Berechenn sie [mm] \integral_{B}^{.} {X^3*y^2 dV}
[/mm]
> >
> > Ich habe mal die grenzen von 0 -1 gewählt und habe dann das
> > integral berechnet und erhalte dafür 1/12 kann das sein
>
> Ob das sein kann, kannst du in diesem Fall recht einfach
> kontrollieren: du hast ja ein Achtel der Einheitskugel im
> [mm]\IR^3.[/mm] Das komplette Volumen der Einheitskugel kannst du
> mit der (geometrischen) Formel für eine Kugel berechnen,
> und dann einfach durch 8 teilen. Ich meine, da müsste
> irgendwas mit [mm]\pi[/mm] rauskommen...
>
Vielleicht hast du übersehen, dass wir eine Funktion f(x,y,z) = [mm] x^3 y^2 [/mm] haben, und es gilt:
[mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] = [mm] \integral_{B}^{} [/mm] 1dV [mm] \ne \integral_{B}^{} [/mm] f(x,y,z)dV = [mm] \integral_{B}^{} x^3 y^2 [/mm] dV, denn f|B [mm] \ne [/mm] 1.
gruss,
logarithmus
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