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| Aufgabe | Eine Rakete der Masse m = 100000kg soll auf eine 500km hohe umlaufbahn geschossen werden. in den folgenden berechnungen sehen wir ab von der (nicht unerheblichen) Luftreibung sowie vom Massenverlust durch Brennstoffverbrauch. Es muss aber berücksichtigt werden, dqass mit wachsender Höhe die Erdanziehungskraft abnimmt. Das Gravitionsgesetz besagt:
Zwischen zwei Massen m1 und m2 (in kg), deren Massenschwerpunkt die Entfernun s (in m) haben, herrscht die Fravitationskraft F (in N), wobei [mm] f(s)=\gamma\bruch{m1*m2}{s²} \gamma=6,67*10^{-11}m^{3}kg^{-1}s^{-2} [/mm] heiß Gravitationskonstante.
Es ist m1=m=100000kg
[mm] m2=Erdmasse=5,974*10^{24}kg
[/mm]
R=mittlerer [mm] erdradius=6371*10^{3}m
[/mm]
Auf der Erdoberfläche erfährt die Rakete eine Anziehungskraft von F(R)=981,693n, in 500km höhe nur noch F(r+500000m)=844,017N |
hey leute
hab die aufgabe in Mathe lk grad. Von Vorteil ist, dass ich noch Physik Lk hab. Also um die verrichtete Arbeit zu berechnen benötige ich die Formel für die Arbeit [mm] W=\integral_{r1}^{r2}{Fdx} [/mm] und die Formel für die Kraft [mm] F(s)=\gamma\bruch{m1*m2}{s²} [/mm]
[mm] r1=6371*10^{3}m [/mm]
und r2=r+500000m
Die erhaltene endgültige Gleichung wäre jetzt=> [mm] W=\gamma*m*M(\bruch{1}{r_{1}}-\bruch{1}{r_{2}})
[/mm]
Das wäre richtig oder? gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
ist alles richtig. Bloß weiß ich nicht wie aufwendig es war, auf die endgültige Gleichung zu kommen. Den (meines Erachtens) leichteren Weg zur Bestimmung hast du ja eigentlich schon durch das Integral angedeutet.
Also wäre die Bildung der Stammfunktion evtl. leichter (als Mithilfe von Ober -und Untersumme ??), aber das muss wohl jeder für sich entscheiden :)
Gruß Sierra
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Wie würde das aussehen wenn wir die stammfunktion bilden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Sierra |
Hallo nochmal,
es gilt für [mm] W_{pot} [/mm] --> [mm] \integral_{r1}^{r2}\gamma*\bruch{m1*m2}{r^{2}} [/mm] = [mm] [\gamma*m1*m2*(-1/r2)] [/mm] - [mm] [\gamma*m1*m2*(-1/r1)]
[/mm]
Gruß Sierra
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danke! welche integralregel wurden denn dafür benutzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
rein mathematisch: [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)dx} [/mm] = F(b)-F(a)
Hoffe, dass es das ist, was du wissen wolltest :-/
LG Sierra
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hey!diese Regel ist mir bekannt, meinte so eher ne regel für die bildung der stammfunktion.
danke für deine hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Sierra |
Hallo nochmals :)
die Formel für die Gravitationskraft lautet ja: [mm] \gamma *m1*m2*(1/r^{2})
[/mm]
Die Kraft hängt also vom Radius ab, da [mm] \gamma [/mm] eine Konstante ist und m1 und m2 feste Größen sind.
Also könntest du es mathematisch wie folgt schreiben;
[mm] f(r)=\gamma *m1*m2*(1/r^{2})
[/mm]
Nun musst du dir [mm] \gamma*m1*m2 [/mm] wie eine einzige Zahl vorstellen, sodass du nur [mm] (1/r^{2}) [/mm] hochleiten musst. Da du [mm] (1/r^{2}) [/mm] auch als [mm] r^{-2} [/mm] schreiben kannst, ist die Hochleitung (-1/r) oder -r^-1.
Denn im Allgemeinen gilt:
[mm] f(x)=kx^{n} [/mm] ---> F(x)= [mm] \bruch{k}{n+1} x^{n+1} [/mm] (+ Additive Konstante)
Nun alles klar?
Lieben Gruß
Sierra
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ok,jetzt übertragen wir die Energieberechnung auf die Federkraft.Es gilt dann [mm] wieder\integral_{s_{1}}^{s_{2}}{(D*s) ds}=[\bruch{1}{2}D²*\bruch{1}{2}s_{2}²]-[\bruch{1}{2}D²*\bruch{1}{2}s_{1}²].
[/mm]
WÄre das richtig?
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
die Bildung der Stammfunktion ist nicht richtig. Du musst hier beachten, dass die Kraft von der Strecke s abhängt, D ist eine eine Konstante, also kannst du dir D wieder wie eine Zahlvorstellen.
Die Stammfunktion von D*s wäre also [mm] 1/2*D*s^{2}
[/mm]
Ansonsten ist deine Vorstellung richtig.
Gruß Sierra
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