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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mi 16.04.2008 | | Autor: | buddha |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass für die Folge yn :=e^(-1) [mm] \integral_{0}^{1}{e^x+x^n dx}, [/mm] n E N die rekursion gilt:
yo= e^-1(e-1)
yn+1= 1-(n+1)yn
und zeigen sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}yn=0 [/mm] |
Um die frage zu beantworten muss ich ja erstmal das integral bilden.
wie ich [mm] (e^x)*(x^n) [/mm] integrieren soll weiß ich nicht
Ich weiß, dass [mm] (e^x)*(x^{n+1})/(n+1) [/mm] abgeleitet = [mm] (e^x)*(x^n) [/mm] + [mm] (e^x)*(x^{n+1})/(n+1)
[/mm]
=>
[mm] \integral_{0}^{1}{e^x+x^n dx} [/mm] = [mm] (e^x)*(x^{n+1})/(n+1) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}{(e^x)*x^(n+1)}/(n+1)
[/mm]
dieses integral könnte ich jetzt genauso bestimmen wie das vorherige,
=> [mm] (e^x)*(x^{n+1})/(n+1) [/mm] - ( [mm] (e^x*x^{n+2}/((n+2)(n+1)) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}{(e^x)*x^(n+2)}/(n+1)(n+2)
[/mm]
Dies kann man ja beliebig fortfahren, ich versuche die reihe also weiter zusammenzufassen:
[mm] (e^x)*(x^n) [/mm] * (x/(n+1) - x²/(n+1)(n+2) + .. - .. + .. - .. + )
ohne das integral wird mir der rekursionsnachweise wohl nicht gelingen oder?
für n gegen unendlich ist klar, dass alle alle summanden gegen 0 gehen => alles geht gegen 0
da die grenzen des integrals 0 und 1 sind
=> [mm] (e^x)*(x^n) [/mm] * (1/(n+1) - 1/(n+1)(n+2) + .. - .. + .. - .. + )
vlt kann man diese geometrische reihe nochmal zusammenfassen, wenn ja keine ahnung wie ^^
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Zu dem Integral:
Ist es [mm] e^x*x^n [/mm] oder [mm] e^x+x^n [/mm] ?
Falls +, sollte das Integral einfach zu bestimmen sein, nämlich [mm] e^x+\frac{x^{n+1}}{n+1}
[/mm]
falls *, dann ist das Integral [mm] (-1)^n*e^x*\summe_{k=0}^n {\frac{(-1)^k*x^k*n!}{k!}} [/mm] und nach Einsetzen der Integrationsgrenzen
[mm] (-1)^{n+1}*(n!-e*\summe_{k=0}^n {\frac{(-1)^k*n!}{k!}})
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Mi 16.04.2008 | | Autor: | buddha |
dank dir schonmal, allerdings wäre es gut zu wissen wie du das jetzt gemacht hast :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:53 Do 17.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
der Ansatz mir der partiellen Integration war schon richtig. Jedoch wird die e-Funktion durch Ableiten/Intrg. nicht verschwinden. Du musst also dafür sorgen, dass [mm] x^n [/mm] sich irgendwann auflöst. Dazu müssen aber die Exponenten kleiner werden, bis [mm] e^x*x^1 [/mm] im nächsten Schritt zu [mm] e^x*1 [/mm] wird.
> [mm] \integral_{0}^{1}{e^x*x^n dx} [/mm] = [mm] \left[\frac{e^x*x^{n+1}}{(n+1)}\right]_0^1 [/mm] - [mm] \integral_0^1 e^x*\frac{x^{n+1} }{n+1}\ [/mm] dx
Du musst den Mittelteil an den Grenzen auswerten.
Zudem fehlt überall das [mm] e^{-1}.
[/mm]
> yo= e^-1(e-1)
> yn+1= 1-(n+1)yn
Da die Lösung rekursiv vorgegeben ist, kannst du sie auch viel leichter rekursiv nachprüfen. Versuche mal deine korrigierte Gleichung umzustellen.
Ciao.
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Nach endlich vielen partiellen Integrationen verschwindet das [mm] x^n, [/mm] wenn du davon immer die Ableitung nimmst. Schreib einfach mal ein paar Schritte auf und man kommt auf die Formel. Die Lösung der Aufgabe erhält man aber auf ganz einfach Weise so:
[mm] y_n=e^{-1}*\integral_{0}^{1}{e^x*x^n dx}
[/mm]
[mm] y_{n+1}=e^{-1}*\integral_{0}^{1}{e^x*x^{n+1} dx}
[/mm]
Nun führt man einmalige partielle Integration für [mm] y_{n+1} [/mm] aus und die Lösung offenbart sich:
[mm] y_{n+1}=e^{-1}*(e^1*1^{n+1}-e^0*0^n-\integral_{0}^{1}{e^x*(n+1)*x^{n+1-1 } dx})
[/mm]
[mm] =e^{-1}*(e-(n+1)*\integral_{0}^{1}{e^x*x^n dx})
[/mm]
[mm] =1-(n+1)*e^{-1}\integral_{0}^{1}{e^x*x^n dx} [/mm] <-- [mm] y_n=e^{-1}*\integral_{0}^{1}{e^x*x^n dx}
[/mm]
[mm] y_{n+1}=1-(n+1)*y_n
[/mm]
qed
Wenn du einmalige part. Integ. für [mm] y_{n+1} [/mm] ausführst, reduzierst du ja den Exponenten um 1, das (n+1) kannst du als konstanten Faktor vor das Integral schieben. Was dann am Ende stehen bleibt, ist ja dann genau yn und du kannst das ersetzen. Damit hast du dann deine Rekursionsformel, ohne je das Integral vollständig ausgewertet zu haben.
Jetzt musst du nur noch überprüfen, ob für n=0 tatsächlich der angegebene Startwert herauskommt und du bist fertig.
[mm] y_0=e^{-1}*\integral_{0}^{1}{e^x dx}
[/mm]
[mm] =e^{-1}*((e^x|x=1)-(e^x|x=0))
[/mm]
[mm] =e^{-1}*(e-1)
[/mm]
Was genau dem Startwert enstpricht, qed.
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