integration durch differentati < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Mi 14.01.2009 | | Autor: | meep |
hi zusammen,
ich soll ne integration durch differentation durchführen aber ich finde keinen satz im internet und in meinen lehrbüchern auch nicht. hat jemand ne ahnung wie das gehen soll ?
mfg
meep
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Mi 14.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wahrscheinlich meinst du partielle Integration, Hast du ein konkretes Problem?
Produktregel: f(x)=u(x)*v(x)
f'(x)=u'v+uv'
daraus u'v=f'-uv'
jetzt Integrale :
[mm] \integral{u'v dx}=\integral{ f'dx} -\integral{uv' dx}
[/mm]
mit [mm] \integral{ f'dx}=f=uv [/mm] hat man
[mm] \integral{u'v dx}=uv -\integral{uv' dx}
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mi 14.01.2009 | | Autor: | meep |
hi,
jepp hab eine aufgabe dazu. ich poste sie eben schnell.
Man zeige: [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{log(1+x)}{1+x^2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{8} [/mm] log 2
Hinweis: Man betrachte das allgemeinere Integral
F(y) = [mm] \integral_{0}^{y}{\bruch{log(1+xy)}{1+x^2} dx}
[/mm]
berechne es durch Differentiation und setze dann y = 1
und ich hab absolut garkeine ahnung was damit gemeint ist
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Mi 14.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist was anderes!
Differenziere das nach der Kettenregel!
1. nach der oberen Grenze des Integrals gibt den Integraden an der Stelle x=y *Integral der Ableitung des Integranden nach y.
Dann das Integral lösen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mi 14.01.2009 | | Autor: | meep |
danke für die antwort leduart,
leider verstehe ich nur bahnhof. also ich leite erstmal den integranden ab ? und nach welcher variablen ? x oder y ?
mfg
meep
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Mi 14.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nach was kann man wohl F(y) ableiten?
Wie leitet man ein Integral mit oberer Grenze y nach y ab?
Wie leitet man ein Intgral nach nem Parameter der drin steht ab? Und dazu noch Kettenregel!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Do 15.01.2009 | | Autor: | meep |
so, ich hab das mal nach y abgeleitet und dann habe ich dafür
[mm] \integral_{0}^{y}{\bruch{x}{(1+x^2)(1+xy)}}
[/mm]
heraus. soweit stimmts hoffentlich oder ?
dann hab ich ne PBZ gemacht und stück für stück nach x integriert. das dumme ist nur das ich am ende nie auf [mm] \bruch{\pi}{8}log [/mm] 2 komme sondern auf [mm] \bruch{\pi -2 log 2}{8}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:11 Do 15.01.2009 | | Autor: | reverend |
Ja, mein Beileid, meep. Schade, dass Du nicht das erwünschte Ergebnis findest.
Ich wäre gerne bereit, mal über Deine Rechnung zu schauen und nach Fehlern zu suchen, aber da Du weder Deine "PBZ" (perinatal bulimische Zwangsvorstellungen? Postbereichszustellung? Polarbärenzentrale? Partialbruchzerlegung? pluriforme biotische Zellmutationen? primär belanglose Zugänge? pastoral begründete Zuneigung?) noch die Integration vorlegst, kann ich nichts prüfen, sondern nur Dein Bedauern teilen.
So habe ich auch keine Lust, mich in die Diskussion einzulesen, weil mich die Vorgeschichte ja auch nicht befähigen kann, den aktuellen Schritt nachzuvollziehen.
Also, ich leide mit Dir.
In tiefer Verbundenheit,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Do 15.01.2009 | | Autor: | meep |
hier mal der komplette rechenweg:
[mm] \integral_{0}^{y}{\bruch{x}{(1+xy)*(1+x^2)} dx}
[/mm]
Nun einsetzen von y=1
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x}{(1+x)*(1+x^2)} dx}
[/mm]
Dann habe ich ne PBZ gemacht die wie folgt aussieht:
[mm] \bruch{A}{1+x} [/mm] + [mm] \bruch{Bx+C}{1+x^2} [/mm] = [mm] \bruch{x}{(1+x)*(1+x^2)}
[/mm]
[mm] A(1+x^2) [/mm] + (Bx+C)(1+x) = x
A + [mm] Ax^2 [/mm] + Bx + [mm] Bx^2 [/mm] + C + Cx = x
I: A + C = 0
II: A + B = 0
III: B + C = 1
Wenn man das ausrechnet bekommt man für A = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] für B = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und für C = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Das ergibt dann:
- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+x} dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1+x}{1+x^2} dx}
[/mm]
Das integriert ergibt dann:
- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * log (1+x) + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * ( arctan x + [mm] \bruch{1}{2} log(1+x^2)) [/mm]
ausmultipliziert dann:
- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * log (1+x) + [mm] \bruch{1}{2}*arctan [/mm] x + [mm] \bruch{1}{4}*log(1+x^2)
[/mm]
Nun setze ich die obere grenze ein und rechne es aus (für die untere integrationsgrenze kommt 0 heraus, deshalb lass ich sie raus)
[mm] -\bruch{1}{2} [/mm] * log 2 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * arctan 1 + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * log 2
= [mm] \bruch{1}{4}*log [/mm] 2 + [mm] \bruch{\pi}{8} [/mm]
= [mm] \bruch{2*log2 + \pi}{8}
[/mm]
mfg
meep
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Do 15.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo meep,
nur ganz am Ende ist noch ein kleiner Fehler, aber das rettet den Ansatz leider noch nicht:
> [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] * log 2 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * arctan 1 +
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * log 2
>
> = [mm]\red{-}\bruch{1}{4}*log[/mm] 2 + [mm]\bruch{\pi}{8}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\red{-}2*log2 + \pi}{8}[/mm]
Ich zermartere mir schon eine Weile den Kopf, wie das doch ging und habe ungefähr das in Erinnerung, was leduart schreibt. Wenn ich das hier anwende, dann komme ich auf folgendes:
[mm] \integral_{0}^{y}{\bruch{\ln{(1+xy)}}{1+x^2}\ dx}=\bruch{\ln{(1+y^2)}}{1+y^2}*\integral_{0}^{1}{\bruch{\bruch{x(1+x^2)}{1+xy}-2x\ln{(1+xy)}}{(1+x^2)^2}dx}=...
[/mm]
jetzt y=1 einsetzen!
[mm] ...=\bruch{1}{2}\ln{2}*\integral_{0}^{1}{\bruch{x(1+x^2)-2x(1+x)\ln{(1+x)}}{(1+x)(1+x^2)^2}\ dx}=\bruch{1}{2}\ln{2}*\bigg(\integral_{0}^{1}{\bruch{x}{(1+x)(1+x^2)}\ dx}-\integral_{0}^{1}{\bruch{2x\ln{(1+x)}}{(1+x^2)^2}\ dx}\bigg)
[/mm]
Das linke Integral hast Du ja schon oben bestimmt, das rechte ist ein bisschen mühsamer und ergibt:
[mm] \bruch{1}{4}\left[2\arctan{x}+\left(2-\bruch{4}{1+x^2}\right)\ln{(1+x)}-\ln{(1+x^2)}\right]_{0}^{1}=\bruch{1}{4}\left(\bruch{\pi}{2}-\ln{2}\right)=\bruch{\pi}{8}-\bruch{1}{4}\ln{2}
[/mm]
Und wenn ich das jetzt alles einsetze und hübsch zusammenbastele, dann bekomme ich folgendes Ergebnis:
[mm] \bruch{1}{2}\ln{2}*\bigg(\integral_{0}^{1}{\bruch{x}{(1+x)(1+x^2)}\ dx}-\integral_{0}^{1}{\bruch{2x\ln{(1+x)}}{(1+x^2)^2}\ dx}\bigg)=\bruch{1}{2}\ln{2}*\left(-\bruch{1}{4}\ln{2}+\bruch{\pi}{8}-\bruch{pi}{8}+\bruch{1}{4}\ln{2}\right)=0
[/mm]
Auch hübsch, aber weder das vorgeschlagene Ergebnis noch sonst sinnvoll, wenn man sich die ursprünglich zu integrierende Funktion mal plotten lässt.
Ich frag mal direkt selbst: Wo ist der Fehler?
[hae]
lg,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Do 15.01.2009 | | Autor: | meep |
danke reverend für die hilfe.
ich hab das integral auch mal hier lösen lassen
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
aber da kommt auch nur so komisches zeugs raus.
also ich für meinen teil bin mit meinem latein am ende ... ich werd deinen ansatz nochmals versuchen nachzuvollziehen da ich ja schon anfangs einen fehler gemacht hatte.
lg,
meep
|
|
|
| |
|
Hallo reverend,
> Ich frag mal direkt selbst: Wo ist der Fehler?
> [hae]
Wo der Fehler ist, konnte ich auf die Schnelle nicht herausfinden.
Ich hab das auch mal gemacht:
Es ist
[mm]F'\left(y\right)=\integral_{0}^{y}{\bruch{\partial}{\partial y}\left(\bruch{\operatorname{lg}\left(1+xy\right)}{1+x^{2}}\right) \ dx}+\bruch{\operatorname{lg}\left(1+y^{2}\right)}{1+y^{2}}[/mm]
[mm]=\integral_{0}^{y}{\bruch{x}{\left(1+xy\right)\left(1+x^{2}\right)}\right) \ dx}+\bruch{\operatorname{lg}\left(1+y^{2}\right)}{1+y^{2}}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{1+y^{2}}\integral_{0}^{y}{ -\bruch{y}{1+xy}+\bruch{x+y}{1+x^{2}}\ dx}+\bruch{\operatorname{lg}\left(1+y^{2}\right)}{1+y^{2}}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{1+y^{2}}*\left[-\operatorname{lg}\left(1+xy\right)+\bruch{1}{2}\operatorname{lg}\left(1+x^{2}\right)+y*\operatorname{arctan}\left(x\right) \ \right]_{0}^{y}+\bruch{\operatorname{lg}\left(1+y^{2}\right)}{1+y^{2}}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{1+y^{2}}*\left( \ -\operatorname{lg}\left(1+y^{2}\right)+\bruch{1}{2}\operatorname{lg}\left(1+y^{2}\right)+y*\operatorname{arctan}\left(y\right) \ \right)+\bruch{\operatorname{lg}\left(1+y^{2}\right)}{1+y^{2}}[/mm]
[mm]=\bruch{y*\operatorname{arctan}\left(y\right)}{1+y^{2}}+\bruch{1}{2}\bruch{\operatorname{lg}\left(1+y^{2}\right)}{1+y^{2}}[/mm]
Nun wird das Ganze nach y integriert:
[mm]F\left(y\right)=\integral_{}^{}{\bruch{y*\operatorname{arctan}\left(y\right)}{1+y^{2}}+\bruch{1}{2}\bruch{\operatorname{lg}\left(1+y^{2}\right)}{1+y^{2}} \ dy}[/mm]
[mm]=\integral_{}^{}{\bruch{y*\operatorname{arctan}\left(y\right)}{1+y^{2}} \ dy}+\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}\bruch{\operatorname{lg}\left(1+y^{2}\right)}{1+y^{2}} \ dy} [/mm]
Das zweite Integral wird nun partiell integriert:
[mm]=\integral_{}^{}{\bruch{y*\operatorname{arctan}\left(y\right)}{1+y^{2}} \ dy}+\bruch{1}{2}\operatorname{lg}\left(1+y^{2}\right) \operatorname{arctan}\left(y\right)-\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{2*y*\operatorname{arctan}\left(y\right)}{1+y^{2}} \ dy}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}\operatorname{lg}\left(1+y^{2}\right) \operatorname{arctan}\left(y\right)[/mm]
Für y=1 ergibt sich somit:
[mm]F\left(1\right)=\bruch{1}{2}\operatorname{lg}\left(1+1\right) \operatorname{arctan}\left(1\right)=\bruch{1}{2}\operatorname{lg}\left(1\right) \operatorname{arctan}\left(1\right)=\bruch{\pi}{8}\operatorname{lg}\left(2\right)[/mm]
>
> lg,
> reverend
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:53 Fr 16.01.2009 | | Autor: | reverend |
Wow.
Zwei Schritte sind mir unklar, und über manchen Rest staune ich noch. Da wäre ich nicht drauf gekommen (hoffentlich nur "nicht mehr", was aber im Ergebnis das gleiche ist).
Bevor ich jetzt aber noch anfange, blöde Fragen zu stellen, schlafe ich erst mal drüber und schau morgen nochmal drauf.
Vielen Dank jedenfalls!
Herzlich,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:11 Fr 16.01.2009 | | Autor: | meep |
hi mathepower,
danke für die hilfe. eines ist mir jedoch unklar und zwar woher kommt [mm] \bruch{lg(1+y^2)}{1+y^2} [/mm] her ? das verstehe ich leider nicht :(
wäre nett wenn du mir das beantworten könntest.
lg,
meep
Edit: ok, hat sich erledigt ich hab den passenden satz eben gefunden :)
|
|
|
| |
|
Hallo meep,
> hi mathepower,
>
> danke für die hilfe. eines ist mir jedoch unklar und zwar
> woher kommt [mm]\bruch{lg(1+y^2)}{1+y^2}[/mm] her ? das verstehe ich
> leider nicht :(
>
> wäre nett wenn du mir das beantworten könntest.
Ich habe hier die Differentiationsregel von Leibniz angewendet:
[mm]\bruch{\partial}{\partial y}\left\{\integral_{a\left(y\right)}^{b\left(y\right)}{f(x,y) \ dx}\right\}[/mm]
[mm]=\integral_{a\left(y\right)}^{b\left(y\right)}{\bruch{\partial}{\partial y}f(x,y) \ dx}+\bruch{db}{dy}*f\left( \ b\left(y\right),y \ \right)-\bruch{da}{dy}*f\left( \ a\left(y\right),y \ \right)[/mm]
>
> lg,
>
> meep
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:12 Fr 16.01.2009 | | Autor: | meep |
ok super genau den gleichen satz hab ich auch in meinem skript gefunden. haette nur mal richtig die augen aufmachen sollen :)
|
|
|
|
