integration lnx/x < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mo 23.02.2009 | | Autor: | ljoker |
hallo!
irgendwie scheitere ich noch an der integration von lnx/x. meine überlegungen bisher:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{lnx}{x}dx} [/mm] habe ich zunächst umgeformt in
[mm] \integral_{a}^{b}{lnx*\bruch{1}{x}dx}, [/mm] damit ich dann die produktregel anwenden kann.
dazu habe ich v´(x)= [mm] \bruch{1}{x}, [/mm] v(x)= lnx, u(x)= lnx und u´(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] gewählt.
das alles habe ich dann eingesetzt in
[mm] \integral_{a}^{b}{u*v(strich)dx} [/mm] = u*v - [mm] \integral_{a}^{b}{u(strich)*v dx}
[/mm]
sodass ich das als ergebnis erhielt:
[mm] \integral_{a}^{b}{lnx*\bruch{1}{x}dx}= [/mm] lnx* [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x}*lnx dx} [/mm]
aber das hat mir ja dann im prinzip gar nichts gebracht. habe ich ein falsches verfahren gewählt oder muss ich die terme noch weiter umformen?
wäre froh wenn mir jemand weiterhelfen kann :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Mo 23.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> hallo!
> irgendwie scheitere ich noch an der integration von lnx/x.
> meine überlegungen bisher:
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{lnx}{x}dx}[/mm] habe ich zunächst
> umgeformt in
> [mm]\integral_{a}^{b}{lnx*\bruch{1}{x}dx},[/mm] damit ich dann die
> produktregel anwenden kann.
> dazu habe ich v´(x)= [mm]\bruch{1}{x},[/mm] v(x)= lnx, u(x)= lnx
> und u´(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm] gewählt.
>
> das alles habe ich dann eingesetzt in
> [mm]\integral_{a}^{b}{u*v(strich)dx}[/mm] = u*v -
> [mm]\integral_{a}^{b}{u(strich)*v dx}[/mm]
> sodass ich das als
> ergebnis erhielt:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{lnx*\bruch{1}{x}dx}=[/mm] lnx* [mm]\bruch{1}{x}[/mm] -
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x}*lnx dx}[/mm]
>
Das stimmt nicht!
Richtig wäre:
[mm]\integral_{}^{}{lnx*\bruch{1}{x}dx}= [/mm][mm] (lnx)^2 [/mm] -[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}*lnx dx}[/mm] ,
also
2 [mm] \integral_{}^{}{lnx*\bruch{1}{x}dx} [/mm] = [mm] (lnx)^2
[/mm]
FRED
> aber das hat mir ja dann im prinzip gar nichts gebracht.
> habe ich ein falsches verfahren gewählt oder muss ich die
> terme noch weiter umformen?
> wäre froh wenn mir jemand weiterhelfen kann :)
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mo 23.02.2009 | | Autor: | ljoker |
aber was setze ich denn dann da für u(x), v(x) usw?
die umformung verstehe ich leider auch nicht. woher kommt die 2 vor dem integral. nach welchen regeln konntest du das so umformen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Mo 23.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> aber was setze ich denn dann da für u(x), v(x) usw?
>
u und v hast Du schon richtig gewählt . Dann ist $uv = [mm] (lnx)^2$ [/mm] !!!
> die umformung verstehe ich leider auch nicht. woher kommt
> die 2 vor dem integral. nach welchen regeln konntest du das
> so umformen?
$ [mm] \integral_{}^{}{lnx\cdot{}\bruch{1}{x}dx}= [/mm] $$ [mm] (lnx)^2 [/mm] $ -$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x}\cdot{}lnx dx} [/mm] $
Addiere mal auf beiden Seten $ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x}\cdot{}lnx dx} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mo 23.02.2009 | | Autor: | ljoker |
achso ja stimmt, da war am anfang ein tippfehler von mir drin.
wenn ich den letzten schritt dann noch umforme und durch zwei dividiere erhalte ich die stammfunktion [mm] \bruch{(lnx)^{2}}{2}, [/mm] richtig?
das ist aber umständlich ;) eine leichtere lösung gibts nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mo 23.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> achso ja stimmt, da war am anfang ein tippfehler von mir
> drin.
>
> wenn ich den letzten schritt dann noch umforme und durch
> zwei dividiere erhalte ich die stammfunktion
> [mm]\bruch{(lnx)^{2}}{2},[/mm] richtig?
Ja
>
> das ist aber umständlich ;) eine leichtere lösung gibts
> nicht?
Ich weiß nicht, was es da zu meckern gibt
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ljoker!
> das ist aber umständlich ;) eine leichtere lösung gibts nicht?
Umständlich würde ich das nicht gerade bezeichnen. Aber es gibt eine Alternativlösung.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ljoker!
Du kannst auch alternativ mittels Substitution vorgehen.
Substituiere hier: $z \ := \ [mm] \ln(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mo 23.02.2009 | | Autor: | ljoker |
alles klar, danke euch. habt mir auf jedenfall geholfen :)
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