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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Sa 29.04.2006 | | Autor: | trixi86 |
| Aufgabe | ist die funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ (0,1]} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}
[/mm]
integriebar? |
ich weiß dass die funktion f(x) nich integriebar ist, weiß aber nicht genau wie ich das beweisen soll.
kann ich das mit dem [mm] \limes_{x\rightarrow\ o+} [/mm] f(x) (rechtsseitiger limes in x=0) zeigen? wenn der limes = [mm] \infty [/mm] , dann kann doch garkein integral existieren oder doch?
wenn meine gedanken so halbwegs stimmen, wäre ich dankbar wenn mir jemand sagen könnte wie ich das alles formal sauber aufschreibe.
danke schon im voraus
trixi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Sa 29.04.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
> kann ich das mit dem [mm]\limes_{x\rightarrow\ o+}[/mm] f(x)
> (rechtsseitiger limes in x=0) zeigen? wenn der limes =
> [mm]\infty[/mm] , dann kann doch garkein integral existieren oder
> doch?
Richtig.
> wenn meine gedanken so halbwegs stimmen, wäre ich dankbar
> wenn mir jemand sagen könnte wie ich das alles formal
> sauber aufschreibe.
Es fällt mir eine rüde, aber relativ einfache und schön direkte Lösung, ein - zeige einfach, dass die Riemann-summen nicht konvergieren.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Sa 29.04.2006 | | Autor: | trixi86 |
also das mit den Riemann summen hab ich noch nicht ganz verstanden. die reimannsumme ist doch [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] f [mm] (x_{k}) (x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] udn wie kann ich jetzt zeigen was der grenzwet der summe ist?
bin für jede hilfe dankbar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Sa 29.04.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
> die reimannsumme ist doch [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] f
> [mm](x_{k}) (x_{k}[/mm] - [mm]x_{k-1})[/mm]
Jep.
[mm] f(x_{k}) [/mm] ist ja bei einer äquidistanten Intervallzerlegung [mm] f\left(\bruch{k}{n}\right)=\bruch{n}{k}.
[/mm]
[mm] (x_{k}-x_{k-1}) [/mm] ist die Länge der Teilintervalle aus der Zerlegung. Wenn man mit einer äquidistanten Zerlegung arbeitet wird der Term zu [mm] \bruch{1}{n}. [/mm]
Insgesamt sieht die Summe dann so aus:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{n}{k}\bruch{1}{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}.
[/mm]
Das ist also die harmonische Reihe und die ist bekanntlich divergent.
Gruß,
dormant
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