integrierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 So 30.11.2008 | | Autor: | lenz |
| Aufgabe | sei f:K [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine beschränkte integrierbare Funktion auf einer
kompakten Menge K [mm] \subset \IR^².Zeigen [/mm] sie:
a)Für jedes x [mm] \in \IR^² [/mm] existiert das Integral
u(x):= [mm] \integral_{K}{f(y) ln ||x-y|| dy } [/mm] (|| || euklidische Norm)
[mm] b)\Delta [/mm] u(x)=0 für x [mm] \in \IR^² \backslash [/mm] K |
hallo
bei a dachte ich man könne einfach damit argumentieren das f beschränkt
und ln auf einer kompakten menge deren elemente größer Null sind auch beschränkt ist also [mm] f\cdot{}g
[/mm]
integrierbar über K.ich weiß nur nicht was im Falle x=y ist.ist es dann
überhaupt noch integrierbar und falls ja kann man ln 0 dann als konstant
ansehen und vors integral ziehen)
gruß lennart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 Mo 01.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> sei f:K [mm]\rightarrow \IR[/mm] eine beschränkte integrierbare
> Funktion auf einer
> kompakten Menge K [mm]\subset \IR^².Zeigen[/mm] sie:
> a)Für jedes x [mm]\in \IR^²[/mm] existiert das Integral
> u(x):= [mm]\integral_{K}{f(y) ln ||x-y|| dy }[/mm] (|| ||
> euklidische Norm)
> [mm]b)\Delta[/mm] u(x)=0 für x [mm]\in \IR^² \backslash[/mm] K
> hallo
> bei a dachte ich man könne einfach damit argumentieren das
> f beschränkt
> und ln auf einer kompakten menge deren elemente größer
> Null sind auch beschränkt ist also [mm]f\cdot{}g[/mm]
Das Argument funktioniert für festes [mm] $x\notin [/mm] K$, weil dann [mm] $\ln \|x-y\|$ [/mm] beschränkt ist.
> integrierbar über K.ich weiß nur nicht was im Falle x=y
> ist.ist es dann
> überhaupt noch integrierbar und falls ja kann man ln 0 dann
> als konstant
> ansehen und vors integral ziehen)
[mm] $\ln [/mm] 0$ ist nicht definiert!
Bedenke, dass f beschränkt ist. Wie kannst du das Integral dann umformen?
Viele Grüße
Rainer
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