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| Aufgabe | (a)
Prove that if [mm] \mu [/mm] and [mm] \nu [/mm] are two different integrating factors of the equation
M dx + N dy = 0
then its general solution is
[mm] $\mu=c\nu$.
[/mm]
(b)
Illustrate part (a) by finding two different integrating factors of
x dy - y dx = 0 . |
Hallo,
jetzt habe ich mir schon ein Buch über angewandte DGL zugelegt und finde darin Aufgaben mit Beweisen - wobei es mir jeglicher mathematischen Intuition ermangelt. Grummel.
Ich habe einmal mit (b) angefangen:
-y dx + x dy = 0
[mm] $\nu [/mm] = [mm] \frac{1}{xy}$
[/mm]
[mm] $F(x,y)=ln\left| \frac{y}{x}\right|=C$
[/mm]
[mm] $\mu [/mm] = [mm] \frac{-1}{x^2+y^2}$
[/mm]
[mm] $F(x,y)=arctan\left(\frac{x}{y}\right)=C$
[/mm]
Jetzt soll ja [mm] $\mu=c\nu$ [/mm] sein, also
[mm] $c\frac{-1}{x^2+y^2}=\frac{1}{xy}$
[/mm]
[mm] $F(x,y)=\frac{x^2+y^2}{xy}=c$
[/mm]
[mm] $F(x,y)=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=c$
[/mm]
Ich sehe aber nicht, dass das eine allgemeine Lösung der DGL sein soll:
[mm] $dF=\left(\frac{1}{y}-\frac{y}{x^2}\right)dx+\left(-\frac{x}{y^2}+\frac{1}{x}\right)dy=0$ [/mm] ?
Vielen Dank für einen Hinweis.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 08.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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