interpolationspolynom < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Mi 19.10.2005 | | Autor: | lumpi |
hallo zusammen!
bei folgender aufgabe versteh ich irgendwie nicht wie ich ansetzen soll:
Bestimmen sie zu einer zweimal stetig diffbaren funktion f dasjenige polynom P(x) vom grad 2, das die werte [mm] f(x_{0}) f'(x_{0}) f''(x_{0}) [/mm] interpoliert!Wählen sie als basis die menge{1,x,x²}.bestimmen sie das interpolationspolynom zweiten grades indem sie die lösung des entsprechenden linearen gls berechnen!
was mich verwirrt ist der erste teil der aufgabe!woher bekomm ich die funktion f? hätte jetzt einfach P(x)= a0+a1*x+a2*x² genommen, aber das ist ja keine funktion!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mi 19.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
wenn zu f wirklich nichts weiter gesagt ist, dann sollst du wohl von drei allgemeinen Informationen in [mm] x_0 [/mm] ausgehen.
Im ersten Teil habt ihr offensichtlich eine Interpolationsformel kennengelernt, die die Informationen der Ableitungen mit verarbeiten kann - diese Formel sollst du nun ganz allgemein anwenden.
Im zweiten Teil sollst du das folgende Gleichungssystem lösen:
[mm] $f(x_0)=p(x_0)$
[/mm]
[mm] $f'(x_0)=p'(x_0)$
[/mm]
[mm] $f''(x_0)=p''(x_0)$
[/mm]
wobei [mm] $p(x)=a*x^2+b*x+c$ [/mm] angesetzt wird, dann kannst du die rechten Seiten soweit bestimmen [mm] (x_0 [/mm] natürlich auch einsetzen) und die linken Seiten musst du dir wie eben beliebig, aber fest (also konstant gegeben) denken, also hast du ein Gleichungssystem mit drei unbekannnten und drei Gleichungen.
so verstehe ich zumindest die Aufgabe, aber das hängt natürlich stark davon ab, was ihr schon gemacht habt.
reicht das als Ansatz?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Do 20.10.2005 | | Autor: | lumpi |
hi!
ich hab nochmal die vorlesung gründlich durchforstet und keine Interpolationsformel zu dem thema gefunden! wie sähe die denn aus, hab auch in meinen büchern nachgeguckt, aber nichts geeignetes gefunden!das dumme ist ja das ich die aufgabe nicht rechnen kann wenn ich diese funktion nicht bestimmen kann!
gruß lumpi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Do 20.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
hallo nochmals,
welches Buch benutzt du denn?
außerdem kannst du den zweiten Teil auch ohne Formel allgemein machen. Ich kann aber frühestens morgen nach der entspr. Formel ausschau halten..
viele Grüße
DaMenge
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Hallo lumpi,
> ich hab nochmal die vorlesung gründlich durchforstet und
> keine Interpolationsformel zu dem thema gefunden! wie sähe
> die denn aus, hab auch in meinen büchern nachgeguckt, aber
> nichts geeignetes gefunden!das dumme ist ja das ich die
> aufgabe nicht rechnen kann wenn ich diese funktion nicht
> bestimmen kann!
allem Anschein nach handelt es sich bei dieser Aufgabe um eine Hermite-Interpolation.
Seien Wertepaare [mm](x_{i},\;f[x_{i}])[/mm] gegeben (i=0..n).
Weiterhin bezeichne [mm]r\;=\;r(i)\;\ge\;0[/mm] den kleinsten Index mit
[mm]x_{r}\;=\;x_{r+1}\;=\;\cdots\;=\;x_{i}[/mm]
so gilt für die dividierten Differenzen [mm]f[x_{i},\;\ldots,\;x_{i+k}][/mm]:
a) [mm]P(x)\;=\;\sum\limits_{j = 0}^n {a_j \; [[x\;-\;x_{0}]]^{j}}[/mm]
mit [mm]a_{j}\;=\;f[x_{0},\;\ldots,\;x_{j}][/mm]
b) [mm]f[x_{i},\;\ldots,\;x_{i+k}]\;=\;\frac{f_{r(i)+k}}{k!}[/mm] , falls [mm]x_{i}\;=\;x_{i+k}[/mm]
c) [mm]f[x_{i},\;\ldots,\;x_{i+k}\;:=\;\frac{f[x_{i+1},\;\ldots,\;x_{i+k}]\;-f[x_{i},\;\ldots,\;x_{i+k-1}]}{x_{i+k}\;-x_{i}}[/mm], sonst
Gruß
MathePower
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