invariantes maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Kann mir wer den Begriff "invariantes maß" informell erklären (Definitionen sind bekannt)?
Und zum besseren Verständnis: Woran sehe ich, dass unter der Abb.
[mm] x_{t+1}=2x_t [/mm] (mod 1)
das Lebesgue-Maß invariant ist?
Viele Dank schon mal!
Xenomorph
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Morgen,
invariant könnte hier heissen: invariant unter gewissen Abbildungen, zB ist sicher das Lebesgue-Mass aur [mm] \IR [/mm] invariant unter
der Abbildung
[mm] f\colon \IR\to\IR,\: x\mapsto [/mm] f(x)=x+1
D.h. ja nichts anderes als dass, wenn eine Teilmenge [mm] A\subseteq \IR [/mm] das Mass [mm] \mu(A) [/mm] hat, auch die Menge [mm] f(A)=\{f(x)|x\in A\} [/mm] das Mass [mm] \mu(A) [/mm] hat.
In Deinem Beispiel sollte es dann doch vermutlich das Lebesgue-Mass auf [0,1] oder so sein, richtig ?
Ich hab jetzt folgende Zweifel, ob das damit gemeint ist:
(1) Bei Deiner Notation kommt ein Parameter t vor, dass deutet auf stochastische Prozesse hin.
(2) Waere obiges gemeint, und würde deine Abb. einfach [mm] f\colon [0,1]\to [/mm] [0,1], [mm] x\mapsto 2x\:\: mod\: [/mm] 1
sein, so waere
[mm] \mu([\epsilon, 2\epsilon])=\epsilon, [/mm] aber
[mm] \mu([2\epsilon,4\epsilon])=2\epsilon
[/mm]
Bei Markov-Ketten und allgemein stochastischen Prozessen spricht man von invarianter Verteilung und meint damit eine stationäre Verteilung.
Gruss,
Mathias
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Erst einmal Danke für die schnelle Antwort!
Es handelt sich um eine Abb. $ [mm] f\colon [0,1]\to [/mm] $ [0,1].
Diese habe ich als ein einfaches Beispiel für chaotische Dynamik gefunden, da für eine irrationale Wahl von [mm] x_0 [/mm] ergodisches Verhalten auftritt.
Im Bronstein unter Kapitel 17.2.1.1 wird nun behauptet, aus der Definition der Abb. sei ersichtlich, dass das Lebesgue-Maß invariant unter dieser Abb. sei. Aber wie Du schon geschrieben hast vergrößert sich ja ein betrachtetes Intervall unter der Abb. ( für x [mm] \le [/mm] 0,5). Wie ist diese Invarianz also zu verstehen?
Und inwiefern ist eine statistische Verteilung ein invariantes Maß?
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Hallo Leute,
> Im Bronstein unter Kapitel 17.2.1.1 wird nun behauptet,
> aus der Definition der Abb. sei ersichtlich, dass das
> Lebesgue-Maß invariant unter dieser Abb. sei. Aber wie Du
> schon geschrieben hast vergrößert sich ja ein betrachtetes
> Intervall unter der Abb. ( für x [mm]\le[/mm] 0,5). Wie ist diese
> Invarianz also zu verstehen?
Ahem. Die Abb. ist ${x^'} = 2x (mod 1)$ --- das Intervall vergrößert sich also nicht!
Alles klar?
fragt
Stukkateur
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Fr 31.03.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo Stukkateur,
also wenn Du meine erste Antwort liest, merkst Du, dass das nicht der Einwand war und somit Deine Antwort mitnichten
die Situation klärt.
Hab mal geschaut: Fuer diskrete dynamische Systeme gibt es den Begriff des invarianten Maßes, da kann man nach googlen.
In den Vortragsfolien, die ich mir mal dazu ausgedruckt habe, kommt jedoch noch so ein [mm] \delta [/mm] vor, das nirgends dort definiert ist, deswegen
schreib ich auch jetzt noch nicht, wie die Def. ansonsten lautet.
Oder doch  :
Wenn man allgemein eine Abb. [mm] x_{n+1}=f(x_n) [/mm] hat, dann wird in dort (ein Hauptseminar-Vortrag von einem Martin Winter)
das invariante Maß definiert als
[mm] \rho(x)=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}\delta[x-f^i(x_0)]
[/mm]
Falls ich noch etwas finde, meld ich mich. Stukkateur: Kennst Du diese def., und kannst Du bitte noch etwas dazu schreiben ?
Gruss,
Mathias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Fr 31.03.2006 | | Autor: | Stukkateur |
Hallo MathiasH,
> Hallo Stukkateur,
>
> also wenn Du meine erste Antwort liest, merkst Du, dass das
> nicht der Einwand war und somit Deine Antwort mitnichten
> die Situation klärt.
Das habe ich fast befürchtet, aber leider war mein Finger auf dem Send-Knopf schneller. :-(
> [...]
> Wenn man allgemein eine Abb. [mm]x_{n+1}=f(x_n)[/mm] hat, dann wird
> in dort (ein Hauptseminar-Vortrag von einem Martin Winter)
> das invariante Maß definiert als
>
> [mm]\rho(x)=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}\delta[x-f^i(x_0)][/mm]
>
> Falls ich noch etwas finde, meld ich mich. Stukkateur:
> Kennst Du diese def., und kannst Du bitte noch etwas dazu
> schreiben ?
Ich kenne sie nicht, bzw vielleicht sollte ich das, und habe sie verdrängt. Aber wenn das [mm] $\delta$ [/mm] nicht anders definiert ist, gehe ich davon aus, das folgendes gemeint ist:
1. $ [mm] \forall [/mm] {x [mm] \in \IR, [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0} : [mm] \delta(x) [/mm] = 0 $
2. $ [mm] \forall [/mm] {a,b [mm] \in \IR, [/mm] a <0, b> 0} : [mm] \integral_{a}^{b}{\delta(x) dx} [/mm] = 1$
Hilft das weiter?
frag sich
Stukkateur
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 14.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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