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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Mi 19.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] f,g : \IR \setminus \{1,-1\} \to \IR \setminus \{1,-1\} [/mm] definiert durch [mm] f(x) = \bruch{x+3}{1-x} [/mm] und [mm] g(x) = \bruch{x-3}{1+x} [/mm]
Beweisen Sie, dass f und g bijektiv sind.
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Ich habe bereits [mm] (f \circ g)(x) = \bruch{x-x^2}{1-x} [/mm] und [mm] (g \circ f)(x) = \bruch{x+x^2}{1+x} [/mm] berechnet, weiss dass die beiden Abbildungen invers zueinander sind, weiss aber nicht, wie man das formal beweist.
Danke, Susanne.
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> Sei [mm]f,g : \IR \setminus \{1,-1\} \to \IR \setminus \{1,-1\}[/mm]
> definiert durch [mm]f(x) = \bruch{x+3}{1-x}[/mm] und [mm]g(x) = \bruch{x-3}{1+x}[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass f und g bijektiv sind.
>
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> Ich habe bereits [mm](f \circ g)(x) = \bruch{x-x^2}{1-x}[/mm] und [mm](g \circ f)(x) = \bruch{x+x^2}{1+x}[/mm]
> berechnet, weiss dass die beiden Abbildungen invers
> zueinander sind, weiss aber nicht, wie man das formal
> beweist.
Hallo,
für f bijektiv brauchst Du ja f injektiv und f surjektiv.
Die Vorarbeit für surjektiv hast Du ja schon perfekt erledigt.
Du willst nun zeigen, daß es zu jedem y des Wertebereiches ein x im Definitionsbereich gibt mit f(x)=y.
Bew.: Sei y [mm] \in \IR\{1,-1}.
[/mm]
Sei x:= [mm] \bruch{y-3}{1+y} [/mm] .
Es ist [mm] f(x)=f(\bruch{y-3}{1+y}) [/mm] und das rechnest Du nun aus.
Für die Injektivität ist zu zeigen, daß aus f(a)=f(b) folgt a=b.
Bew. Sei f(a)=f(b)
<==> einsetzen, Gleichung lösen
==> a=b
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Mi 19.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Ok, verstanden !
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe !
LG, Susanne.
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