invertierbar < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Mi 10.06.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute,
wann ist eine Matrix [mm] X=A*A^T [/mm] invertierbar, wobei A eine (m,n)-Matrix ist?
ich dachte das wäre immer der fall, aber hab jetzt gelesen, dass dies nur gilt, wenn A lin.unabhängige Spalten hat.
falls ja, kann einer evtl kurz erklären, warum dies so ist?
danke im voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Mi 10.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei $A= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0}$
[/mm]
Die Spalten von A sind l.u. Aber (rechne nach): [mm] $AA^T$ [/mm] ist nicht invertierbar
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mi 10.06.2009 | | Autor: | AriR |
und was wäre, wenn die matritzen quadratisch wären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Mi 10.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten linear unabhängig sind. Außerdem gilt: Ist A invertierbar, dann auch [mm] $AA^T$. [/mm] Umgekehrt, ist [mm] AA^T [/mm] invertierbar, so gilt [mm] $n=rang(AA^T)\le\max\{rang(A),rang(A^T)\}=rang(A)$, [/mm] also rang(A)=n und A ist invertierbar.
Also haben wir gezeigt: Ist A eine quadratsiche Matrix, dann ist [mm] AA^T [/mm] genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten linear unabhängig sind.
Gruß, Robert
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