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| Aufgabe | Definition "unzerlegbar":
Ein Element heißt unzerlegbar, wenn es keine Einheit ist und nicht als nicht-triviales Produkt geschrieben werden kann, d.h. falls [mm] a=a_{1}a_{2}, [/mm] so ist [mm] a_{1} [/mm] oder [mm] a_{2} [/mm] eine Einheit.
Definition "irreduzibel":
Ein Polynom [mm] P\inK[X] [/mm] mit degP>0 heißt irreduzibel, falls es unzerlegbar ist, d.h. P nicht von der Form [mm] P=P_{1}P_{2} [/mm] mit [mm] degP_{1}, degP_{2}>0 [/mm] ist. |
Hallo!
Es geht mir gerade um das Verständnis.
Und zwar um Irreduzibilität.
Wenn ich nun also ein Polynom auf Unzerlegbarkeit prüfen will, muss ich es auf Irreduzibilität prüfen, oder?
Und wie mach ich das dann in der Praxis?
Bsp.: [mm] x^{2}+27x+213 [/mm] in [mm] \IQ[X]
[/mm]
Ich kann zeigen, dass es nicht als Produkt von Linearfaktoren in [mm] \IQ [/mm] geschrieben werden kann:
[mm] x^{2}+27x+213=(x+a)(x+b)=x^{2}+abx+b^{2}
[/mm]
--> [mm] b=\wurzel{213}\not\in\IQ
[/mm]
aber das reicht vermutlich nicht, oder?
Kann mir hier jemand helfen?
Das wäre super!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Definition "unzerlegbar":
> Ein Element heißt unzerlegbar, wenn es keine Einheit ist
> und nicht als nicht-triviales Produkt geschrieben werden
> kann, d.h. falls [mm]a=a_{1}a_{2},[/mm] so ist [mm]a_{1}[/mm] oder [mm]a_{2}[/mm] eine
> Einheit.
>
> Definition "irreduzibel":
> Ein Polynom [mm]P\inK[X][/mm] mit degP>0 heißt irreduzibel, falls
> es unzerlegbar ist, d.h. P nicht von der Form [mm]P=P_{1}P_{2}[/mm]
> mit [mm]degP_{1}, degP_{2}>0[/mm] ist.
> Hallo!
> Es geht mir gerade um das Verständnis.
> Und zwar um Irreduzibilität.
> Wenn ich nun also ein Polynom auf Unzerlegbarkeit prüfen
> will, muss ich es auf Irreduzibilität prüfen, oder?
>
> Und wie mach ich das dann in der Praxis?
> Bsp.: [mm]x^{2}+27x+213[/mm] in [mm]\IQ[X][/mm]
> Ich kann zeigen, dass es nicht als Produkt von
> Linearfaktoren in [mm]\IQ[/mm] geschrieben werden kann:
> [mm]x^{2}+27x+213=(x+a)(x+b)=x^{2}+abx+b^{2}[/mm]
> --> [mm]b=\wurzel{213}\not\in\IQ[/mm]
> aber das reicht vermutlich nicht, oder?
auf jeden Fall rechnest Du falsch:
[mm] $(x+a)*(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\,,$
[/mm]
also wäre [mm] $ab=213\,$ [/mm] und [mm] $a+b=27\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lily,
vielleicht war Dir meine Antwort eben nicht ganz klar, aber:
> Definition "unzerlegbar":
> Ein Element heißt unzerlegbar, wenn es keine Einheit ist
> und nicht als nicht-triviales Produkt geschrieben werden
> kann, d.h. falls [mm]a=a_{1}a_{2},[/mm] so ist [mm]a_{1}[/mm] oder [mm]a_{2}[/mm] eine
> Einheit.
>
> Definition "irreduzibel":
> Ein Polynom [mm]P\inK[X][/mm] mit degP>0 heißt irreduzibel, falls
> es unzerlegbar ist, d.h. P nicht von der Form [mm]P=P_{1}P_{2}[/mm]
> mit [mm]degP_{1}, degP_{2}>0[/mm] ist.
> Hallo!
> Es geht mir gerade um das Verständnis.
> Und zwar um Irreduzibilität.
> Wenn ich nun also ein Polynom auf Unzerlegbarkeit prüfen
> will, muss ich es auf Irreduzibilität prüfen, oder?
>
> Und wie mach ich das dann in der Praxis?
> Bsp.: [mm]x^{2}+27x+213[/mm] in [mm]\IQ[X][/mm]
> Ich kann zeigen, dass es nicht als Produkt von
> Linearfaktoren in [mm]\IQ[/mm] geschrieben werden kann:
> [mm]x^{2}+27x+213=(x+a)(x+b)=x^{2}+abx+b^{2}[/mm]
> --> [mm]b=\wurzel{213}\not\in\IQ[/mm]
> aber das reicht vermutlich nicht, oder?
Du solltest nun prüfen - nach der Rechenkorrektur - wie es mit dem
Gleichungssystem, bestehend aus
[mm] $a+b=27\,,$
[/mm]
und
[mm] $ab=213\,,$
[/mm]
aussieht. Gibt es dafür Lösungen in $a,b [mm] \in \IQ$? [/mm] (Das kann man sogar viel
allgemeiner beantworten...)
Und dann ist die Frage: Wenn es keine Lösungen gibt: Wie begründest Du,
dass es reicht, sich "nur" sowas wie
[mm] $x^2+27x+213=(x+a)*(x+b)\,$
[/mm]
anzuschauen?
Es ist ja nicht falsch, aber "rein theoretisch" kann man ja auch noch "naiv"
[mm] $(x^2+27x+213):(rx^2+sx+t)$
[/mm]
mit $r [mm] \in \IQ \setminus \{0\},\;s,t \in \IQ$ [/mm] ansetzen - was sollte dann rauskommen? (Insbesondere musst
Du Dir klarmachen, was die Einheiten in [mm] $\IQ[X]$ [/mm] sind - oh, ein Wink mit dem
Zaunpfahl...).
Warum wird es sinnlos, solch' einen "Polynomdivisionsansatz" zu machen,
wo man durch ein Polynom vom Grad [mm] $\ge\,3$ [/mm] teilt?
Ein paar Zusatzbemerkungen sind da auch noch notwendig!
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank erstmal!
Huch, da war ich wohl ein bisschen müde beim Rechnen :-D
Ganz generell würde mich erst mal interessieren, ob es wirklich so ist, dass wenn ich ein Polynom auf Unzerlegbarkeit prüfen soll, ich dieses dann auf Irreduzibilität prüfen kann?
Denn dann könnte ich doch einfach das Eisensteinkriterium anwenden, oder?
Das würde dann so aussehen:
p=3 ist Primzahl und teilt 27 und 213, also [mm] a_{0},...a_{n-1} [/mm] und nicht 1, also [mm] a_{n}
[/mm]
und [mm] p^{2}=9 [/mm] teilt nicht [mm] a_{0}=213
[/mm]
Damit ist P irreduzibel.
Und eine Polynom ist irreduzibel, wenn es unzerlebar ist, und damit ist dieses Polynm zerlegbar.
Kann man das so machen?
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Hallo Lily,
es gibt keinen Unterschied zwischen reduzibel und zerlegbar, diese Wörter sind bedeutungsgleich in diesem Zusammenhang, ebenso wie dementsprechend irreduzibel und unzerlegbar.
> Ganz generell würde mich erst mal interessieren, ob es
> wirklich so ist, dass wenn ich ein Polynom auf
> Unzerlegbarkeit prüfen soll, ich dieses dann auf
> Irreduzibilität prüfen kann?
Ja, siehe oben.
> Denn dann könnte ich doch einfach das Eisensteinkriterium
> anwenden, oder?
Genau, das klappt hier prima.
> Das würde dann so aussehen:
> p=3 ist Primzahl und teilt 27 und 213, also
> [mm]a_{0},...a_{n-1}[/mm] und nicht 1, also [mm]a_{n}[/mm]
> und [mm]p^{2}=9[/mm] teilt nicht [mm]a_{0}=213[/mm]
> Damit ist P irreduzibel.
So ist es.
> Und eine Polynom ist irreduzibel, wenn es unzerlebar ist,
> und damit ist dieses Polynm zerlegbar.
Das letzte Wort stimmt nicht. Du hast doch gerade gezeigt, dass es irreduzibel=unzerlegbar ist.
> Kann man das so machen?
Man kann. Man sollte sogar. Eisenstein ist einfach, aber mächtig.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mi 11.12.2013 | | Autor: | Mathe-Lily |
Vielen Dank! 
Inzwischen habe ich auch gemerkt, dass auch Gauß in diesem Zusammenhang sehr nützlich sein kann!
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