irreduzibel Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K/k eine Körpererweiterung und seien [mm] f\in k[X],g\in [/mm] k[X] irreduzibel. Sei [mm] \alpha\in [/mm] K bzw. [mm] \beta\in [/mm] K eine Nullstelle von f bzw. g.
Zeigen Sie: f irreduzibel in [mm] k(\beta)[X]\Leftrightarrow [/mm] g irreduzibel in [mm] k(\alpha)[X]. [/mm] |
Hallo,
ehrlich gesagt finde ich hier keinen fruchtbaren Ansatz. Was ich weiß ist, dass f offenbar das Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] über k ist und analog g das von [mm] \beta. [/mm] Ich weiß dann aber nicht, wie ich von f zu g komme.
Ich hatte noch einen Ansatz mit dem Gradsatz versucht, also [mm] [K:k]=[K:k(\beta)][k(\beta):k]=[K:k(\beta)]\deg(g) [/mm] und das gleiche noch mit [mm] \alpha [/mm] aber so bekomme ich auch keine Verbindung vom einen zum anderen. Offensichtlich ist ja [mm] \beta [/mm] keine Nullstelle von f wenn das über [mm] k(\beta) [/mm] irreduzibel sein soll. Aber jetzt nur zu zeigen, dass [mm] \alpha [/mm] keine Nullstelle von g ist reicht ja nicht aus, immerhin könnte g eine Nullstelle haben in [mm] k(\alpha) [/mm] bestehend aus einer Linearkombination mit [mm] \alpha. [/mm] Wie könnte man hier also sinnvoll ansetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:48 Mi 22.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei K/k eine Körpererweiterung und seien [mm]f\in k[X],g\in[/mm]
> k[X] irreduzibel. Sei [mm]\alpha\in[/mm] K bzw. [mm]\beta\in[/mm] K eine
> Nullstelle von f bzw. g.
>
> Zeigen Sie: f irreduzibel in [mm]k(\beta)[X]\Leftrightarrow[/mm] g
> irreduzibel in [mm]k(\alpha)[X].[/mm]
>
> ehrlich gesagt finde ich hier keinen fruchtbaren Ansatz.
> Was ich weiß ist, dass f offenbar das Minimalpolynom von
> [mm]\alpha[/mm] über k ist und analog g das von [mm]\beta.[/mm] Ich weiß
> dann aber nicht, wie ich von f zu g komme.
>
> Ich hatte noch einen Ansatz mit dem Gradsatz versucht, also
> [mm][K:k]=[K:k(\beta)][k(\beta):k]=[K:k(\beta)]\deg(g)[/mm]
Wieso nimmst du $[K : k]$? Du weisst doch nichtmals, ob das endlich ist! Nimm lieber [mm] $[k(\alpha, \beta) [/mm] : k]$. Dann kommt das sehr gut hin.
Beachte, dass [mm] $[k(\alpha, \beta) [/mm] : [mm] k(\beta)]$ [/mm] gleich dem Grad des Minimalpolynoms von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber [mm] $k(\beta)$ [/mm] ist. Dies ist genau dann gleich [mm] $\deg [/mm] f$, wenn $f$ das Minimalpolynom ist (bzw. ein Vielfaches davon), also genau dann, wenn $f$ ueber [mm] $k(\beta)$ [/mm] irreduzibel ist.
LG Felix
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> Moin!
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> > Sei K/k eine Körpererweiterung und seien [mm]f\in k[X],g\in[/mm]
> > k[X] irreduzibel. Sei [mm]\alpha\in[/mm] K bzw. [mm]\beta\in[/mm] K eine
> > Nullstelle von f bzw. g.
> >
> > Zeigen Sie: f irreduzibel in [mm]k(\beta)[X]\Leftrightarrow[/mm] g
> > irreduzibel in [mm]k(\alpha)[X].[/mm]
> >
> > ehrlich gesagt finde ich hier keinen fruchtbaren Ansatz.
> > Was ich weiß ist, dass f offenbar das Minimalpolynom von
> > [mm]\alpha[/mm] über k ist und analog g das von [mm]\beta.[/mm] Ich weiß
> > dann aber nicht, wie ich von f zu g komme.
> >
> > Ich hatte noch einen Ansatz mit dem Gradsatz versucht, also
> > [mm][K:k]=[K:k(\beta)][k(\beta):k]=[K:k(\beta)]\deg(g)[/mm]
>
> Wieso nimmst du [mm][K : k][/mm]? Du weisst doch nichtmals, ob das
> endlich ist! Nimm lieber [mm][k(\alpha, \beta) : k][/mm]. Dann kommt
> das sehr gut hin.
>
> Beachte, dass [mm][k(\alpha, \beta) : k(\beta)][/mm] gleich dem Grad
> des Minimalpolynoms von [mm]\alpha[/mm] ueber [mm]k(\beta)[/mm] ist. Dies ist
> genau dann gleich [mm]\deg f[/mm], wenn [mm]f[/mm] das Minimalpolynom ist
> (bzw. ein Vielfaches davon), also genau dann, wenn [mm]f[/mm] ueber
> [mm]k(\beta)[/mm] irreduzibel ist.
Warum ein Vielfaches davon?
Ist f irreduzibel über [mm] k(\beta) [/mm] und [mm] \alpha [/mm] Nullstelle, so ist es das Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] über [mm] k(\beta). [/mm] Es gilt also [mm] [k(\alpha,\beta):k(\beta)][k(\beta):k]=deg(f)\cdot [/mm] deg(g), weil g offensichtlich das MiPo von [mm] \beta [/mm] über k ist. Außerdem gilt [mm] [k(\alpha,\beta):k(\alpha)][k(\alpha):k]=[k(\alpha,\beta):k(\alpha)]\cdot [/mm] deg(f) woraus folgt, dass [mm] [k(\alpha,\beta):k(\alpha)]=deg(g) [/mm] sein muss, also g das MiPo von [mm] \beta [/mm] über [mm] k(\alpha). [/mm] Damit irreduzibel. Die andere Richtung verläuft dann analog.
Ich denke mal, dass es so passt?
>
> LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mi 22.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Sei K/k eine Körpererweiterung und seien [mm]f\in k[X],g\in[/mm]
> > > k[X] irreduzibel. Sei [mm]\alpha\in[/mm] K bzw. [mm]\beta\in[/mm] K eine
> > > Nullstelle von f bzw. g.
> > >
> > > Zeigen Sie: f irreduzibel in [mm]k(\beta)[X]\Leftrightarrow[/mm] g
> > > irreduzibel in [mm]k(\alpha)[X].[/mm]
> > >
> > > ehrlich gesagt finde ich hier keinen fruchtbaren Ansatz.
> > > Was ich weiß ist, dass f offenbar das Minimalpolynom von
> > > [mm]\alpha[/mm] über k ist und analog g das von [mm]\beta.[/mm] Ich weiß
> > > dann aber nicht, wie ich von f zu g komme.
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> > > Ich hatte noch einen Ansatz mit dem Gradsatz versucht, also
> > > [mm][K:k]=[K:k(\beta)][k(\beta):k]=[K:k(\beta)]\deg(g)[/mm]
> >
> > Wieso nimmst du [mm][K : k][/mm]? Du weisst doch nichtmals, ob das
> > endlich ist! Nimm lieber [mm][k(\alpha, \beta) : k][/mm]. Dann kommt
> > das sehr gut hin.
> >
> > Beachte, dass [mm][k(\alpha, \beta) : k(\beta)][/mm] gleich dem Grad
> > des Minimalpolynoms von [mm]\alpha[/mm] ueber [mm]k(\beta)[/mm] ist. Dies ist
> > genau dann gleich [mm]\deg f[/mm], wenn [mm]f[/mm] das Minimalpolynom ist
> > (bzw. ein Vielfaches davon), also genau dann, wenn [mm]f[/mm] ueber
> > [mm]k(\beta)[/mm] irreduzibel ist.
>
> Warum ein Vielfaches davon?
Weil Minimalpolynome normiert sind, $f$ jedoch nicht unbedingt. Also muss man evtl. mit einer Konstanten [mm] $\neq [/mm] 0$ multiplizieren.
> Ist f irreduzibel über [mm]k(\beta)[/mm] und [mm]\alpha[/mm] Nullstelle, so
> ist es das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] über [mm]k(\beta).[/mm]
Genau.
> Es gilt also
> [mm][k(\alpha,\beta):k(\beta)][k(\beta):k]=deg(f)\cdot[/mm] deg(g),
> weil g offensichtlich das MiPo von [mm]\beta[/mm] über k ist.
Ja.
> Außerdem gilt
> [mm][k(\alpha,\beta):k(\alpha)][k(\alpha):k]=[k(\alpha,\beta):k(\alpha)]\cdot[/mm]
> deg(f) woraus folgt, dass
> [mm][k(\alpha,\beta):k(\alpha)]=deg(g)[/mm] sein muss, also g das
> MiPo von [mm]\beta[/mm] über [mm]k(\alpha).[/mm] Damit irreduzibel.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die
> andere Richtung verläuft dann analog.
> Ich denke mal, dass es so passt?
Ja, das passt.
LG Felix
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> Moin!
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> > > > Sei K/k eine Körpererweiterung und seien [mm]f\in k[X],g\in[/mm]
> > > > k[X] irreduzibel. Sei [mm]\alpha\in[/mm] K bzw. [mm]\beta\in[/mm] K eine
> > > > Nullstelle von f bzw. g.
> > > >
> > > > Zeigen Sie: f irreduzibel in [mm]k(\beta)[X]\Leftrightarrow[/mm] g
> > > > irreduzibel in [mm]k(\alpha)[X].[/mm]
> > > >
> > > > ehrlich gesagt finde ich hier keinen fruchtbaren Ansatz.
> > > > Was ich weiß ist, dass f offenbar das Minimalpolynom von
> > > > [mm]\alpha[/mm] über k ist und analog g das von [mm]\beta.[/mm] Ich weiß
> > > > dann aber nicht, wie ich von f zu g komme.
> > > >
> > > > Ich hatte noch einen Ansatz mit dem Gradsatz versucht, also
> > > > [mm][K:k]=[K:k(\beta)][k(\beta):k]=[K:k(\beta)]\deg(g)[/mm]
> > >
> > > Wieso nimmst du [mm][K : k][/mm]? Du weisst doch nichtmals, ob das
> > > endlich ist! Nimm lieber [mm][k(\alpha, \beta) : k][/mm]. Dann kommt
> > > das sehr gut hin.
> > >
> > > Beachte, dass [mm][k(\alpha, \beta) : k(\beta)][/mm] gleich dem Grad
> > > des Minimalpolynoms von [mm]\alpha[/mm] ueber [mm]k(\beta)[/mm] ist. Dies ist
> > > genau dann gleich [mm]\deg f[/mm], wenn [mm]f[/mm] das Minimalpolynom ist
> > > (bzw. ein Vielfaches davon), also genau dann, wenn [mm]f[/mm] ueber
> > > [mm]k(\beta)[/mm] irreduzibel ist.
> >
> > Warum ein Vielfaches davon?
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> Weil Minimalpolynome normiert sind, [mm]f[/mm] jedoch nicht
> unbedingt. Also muss man evtl. mit einer Konstanten [mm]\neq 0[/mm]
> multiplizieren.
f ist doch irreduzibel über k. Angenommen das ist nicht normiert. Dann kann ich ja den Faktor vor dem Leitkoeffizienten rausziehen, etwa f=af' wenn a dieser Faktor ist. Nun ist [mm] a\neq [/mm] 0 in k, also eine Einheit auch in k[X]. Dann wäre aber
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> > Ist f irreduzibel über [mm]k(\beta)[/mm] und [mm]\alpha[/mm] Nullstelle, so
> > ist es das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] über [mm]k(\beta).[/mm]
>
> Genau.
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> > Es gilt also
> > [mm][k(\alpha,\beta):k(\beta)][k(\beta):k]=deg(f)\cdot[/mm] deg(g),
> > weil g offensichtlich das MiPo von [mm]\beta[/mm] über k ist.
>
> Ja.
>
> > Außerdem gilt
> >
> [mm][k(\alpha,\beta):k(\alpha)][k(\alpha):k]=[k(\alpha,\beta):k(\alpha)]\cdot[/mm]
> > deg(f) woraus folgt, dass
> > [mm][k(\alpha,\beta):k(\alpha)]=deg(g)[/mm] sein muss, also g das
> > MiPo von [mm]\beta[/mm] über [mm]k(\alpha).[/mm] Damit irreduzibel.
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>
>
> > Die
> > andere Richtung verläuft dann analog.
> > Ich denke mal, dass es so passt?
>
> Ja, das passt.
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> LG Felix
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ok, dann müsste man in dem Beweis natürlich schreiben, dass f bis auf Normiertheit das MiPo von [mm] \alpha [/mm] ist. Kann man das so schreiben? Vielleicht besser: f ist assoziiert zum MiPo von [mm] \alpha. [/mm]
Wenn ein Polynom assoziiert zu einem irreduziblen Polynom ist, dann ist es doch auch irreduzibel oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Do 23.09.2010 | | Autor: | Eliza |
> ok, dann müsste man in dem Beweis natürlich schreiben,
> dass f bis auf Normiertheit das MiPo von [mm]\alpha[/mm] ist. Kann
> man das so schreiben? Vielleicht besser: f ist assoziiert
> zum MiPo von [mm]\alpha.[/mm]
> Wenn ein Polynom assoziiert zu einem irreduziblen Polynom
> ist, dann ist es doch auch irreduzibel oder?
Ja, das ist so richtig. Wenn du es dir etwas einfacher machen möchtest mit der Argumentation, kannst du auch einfach am Anfang ohne Einschränkung annehmen, dass f und g normiert sind, da Multiplikation mit einer Konstanten weder an den Nullstellen noch an der Irreduzibilität etwas ändert. Dann brauchst du dir während des Beweises keine Gedanken mehr darüber zu machen!
Grüße Eliza
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