irreduzibel, Q[X] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Man zeige, dass [mm] $g=X^{p-1}+\binom{p}{1}X^{p-2}+\dotso+\binom{p}{p-1}\in\mathbb{Q}[X]$ [/mm] irreduzibel ist.
b) Man zeige, dass [mm] $f=X^{p-1}+X^{p-2}+\dotso+1\in\mathbb{Q}[X]$ [/mm] irreduzibel ist.
c) Man zerlege [mm] X^p-1 [/mm] in irreduzible Faktoren in [mm] $\mathbb{Q}[X]$. [/mm] |
Hi,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Insbesondere der b).
a) und c) sind einfach.
zu a):
Nach Eisenstein ist $g$ irreduzibel über [mm] $\mathbb{Q}[X]$, [/mm] denn p (ich gehe davon aus, dass p eine Primzahl sein soll) teilt die auftauchenden Binomialkoeffizienten, aber [mm] $p^2$ [/mm] teilt nicht [mm] $\binom{p}{p-1}=p$.
[/mm]
zu c):
Wenn man b) voraussetzt, dann ist [mm] $X^p-1=(X-1)f$, [/mm] und (X-1) sowie f sind irreduzibel.
zu b):
Dies ist mir bisher nicht gelungen.
Kann ich diese Aufgabe benutzen?
https://matheraum.de/read?t=1079525
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Sa 08.10.2016 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Zeige mal:
$f(X)$ ist irreduzibel [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $f(X+1)$ ist irreduzibel.
Das kannst du dann für deine Aufgabe verwenden.
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> Zeige mal:
> $ f(X) $ ist irreduzibel $ [mm] \Leftrightarrow [/mm] $ $ f(X+1) $ ist irreduzibel.
Sei $f(X)$ irreduzibel über $K[X]$, dann ist $f(X)=g(X)h(X)$, mit [mm] $g(X)\in K^{\times}[X]$ [/mm] ($g(X)$ ist Einheit). Also ist [mm] $g(X)\in\mathbb{K}$ [/mm] und damit konstant. Daher $g(X)=a$
Dann ist $f(X+1)=g(X+1)h(X+1)=ah(X+1)$ und somit ist $f(X+1)$ irreduzibel.
Die Rückrichtung geht analog.
Zur eigentlichen Aufgabe:
[mm] $f(X+1)=(X+1)^{p-1}+(X+1)^{p-2}+\dotso+ [/mm] 1$
Nun ja, ich weiß, dass
[mm] $(X-1)f(X)=X^p-1$, [/mm] also
[mm] $Xf(X+1)=(X+1)^p-1$
[/mm]
Weiter komme ich nicht...
mod p wäre das ganze
[mm] $Xf(X+1)=X^p$
[/mm]
[mm] $f(X+1)=X^{p-1}$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Sa 08.10.2016 | | Autor: | hippias |
> > Zeige mal:
> > [mm]f(X)[/mm] ist irreduzibel [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]f(X+1)[/mm] ist
> irreduzibel.
>
> Sei [mm]f(X)[/mm] irreduzibel über [mm]K[X][/mm], dann ist [mm]f(X)=g(X)h(X)[/mm],
> mit [mm]g(X)\in K^{\times}[X][/mm] ([mm]g(X)[/mm] ist Einheit). Also ist
> [mm]g(X)\in\mathbb{K}[/mm] und damit konstant. Daher [mm]g(X)=a[/mm]
>
> Dann ist [mm]f(X+1)=g(X+1)h(X+1)=ah(X+1)[/mm] und somit ist [mm]f(X+1)[/mm]
> irreduzibel.
>
> Die Rückrichtung geht analog.
>
> Zur eigentlichen Aufgabe:
>
> [mm]f(X+1)=(X+1)^{p-1}+(X+1)^{p-2}+\dotso+ 1[/mm]
Also da könnte man einmal die Klammern auflössen und neu sortieren; auch die Summenformel für die geometrische Reihe bietet sich an.
>
> Nun ja, ich weiß, dass
>
> [mm](X-1)f(X)=X^p-1[/mm], also
>
> [mm]Xf(X+1)=(X+1)^p-1[/mm]
>
> Weiter komme ich nicht...
> mod p wäre das ganze
>
> [mm]Xf(X+1)=X^p[/mm]
>
> [mm]f(X+1)=X^{p-1}[/mm]
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> Also da könnte man einmal die Klammern auflössen und neu sortieren; auch die Summenformel für die geometrische Reihe bietet sich an.
Die Klammern auflösen, mittels binomischen Lehrsatz, erscheint mir etwas aufwendig.
Mit der Summenformel für die geometrische Reihe, erhalte ich
[mm] $f(X+1)=\frac{(X+1)^p-1}{X}$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Sa 08.10.2016 | | Autor: | hippias |
Ich bleibe dabei: wenn ich den Term, in den vom Aufgabenteil b umformen möchte, dann muss ich die Klammer auflösen.
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[mm] $(X+1)^{p-1}+(X+1)^{p-2}+\dotso+1$
[/mm]
[mm] $=\sum_{i=0}^{p-1} \binom{p-1}{i}X^i+\sum_{i=0}^{p-2} \binom{p-2}{i}X^i+\dotso+1$
[/mm]
[mm] $=X^{p-1}+\left(\binom{p-1}{p-2}+1\right)X^{p-2}+\left(\binom{p-1}{p-3}+\binom{p-2}{p-3}+1\right)X^{p-3}+\dotso+p$
[/mm]
Wegen [mm] $f(X+1)=\frac{(X+1)^p-1}{X}=\frac{X^p}{X}=X^{p-1}\mod [/mm] p$
Sind alle Koeffizienten durch $p$ teilbar, außer der Koeffizient von [mm] $X^{p-1}$ [/mm] natürlich.
Aber [mm] $p^2$ [/mm] teilt nicht $p$, und deshalb ist $f(X+1)$ nach Eisenstein irreduzibel, und somit auch $f(X)$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Mo 10.10.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Sa 08.10.2016 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau so kann man es machen. Einmal den binomischen Lehrsatz anwenden liefert genau die Funktion aus a).
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War dies als Antwort auf die offene Frage gedacht?
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