irreduzibel/assoziiert < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Fr 30.11.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Seien R ein Integritätsbereich und seien r,s [mm] \in [/mm] R. Zeigen Sie:
a) Wenn r irreduzibel ist und r assoziiert zu s, so ist auch s irreduzibel.
b) Wenn r,s [mm] \in [/mm] R irreduzibel sind und r|s, so sind r und s assoziiert.
c) Das Element r ist genau dann irreduzibel, wenn (r) maximales Ideal unter den Hauptidealen von R ist. |
Hi,
zur a): Wir müssen hier also zeigen (r irreduzibel [mm] \wedge [/mm] assoziiert zu s) [mm] \Rightarrow [/mm] s irreduzibel.
r irreduzibel heisst r ist keine Einheit und aus [mm] r=a\cdot{b}\quad (a,b\in [/mm] R) folgt entweder a ist Einheit oder b ist Einheit. [mm] r\not=0 [/mm] ist assoziiert zu [mm] s\not=0 [/mm] bedeutet r|s und s|r, außerdem ist "assoziiert" eine Äquivalenzrelation, d.h. "r ist assoziiert zu s" [mm] \gdw r=s*\varepsilon,\quad \varepsilon [/mm] Einheit, d.h. i.a.W. r und s unterscheiden sich nur um eine Einheit.
Folgt jetzt nicht schon aus der Assoziiertheit von r und s, also [mm] s=r\cdot{\varepsilon} [/mm] mit [mm] \varepsilon [/mm] Einheit, dass s irreduzibel ist. Denn s hat erstmal überhaupt so eine Darstellung, dann ist noch r irreduzibel n.V. und [mm] \varepsilon [/mm] ist Einheit. Also ist s irreduzibel?
|
|
| |
|
moin,
Deine Vorüberlegungen stimmen und du hast auch die richtige Idee für den Beweis.
Was noch fehlt ist die Frage, wie man den Beweis jetzt am schönsten aufbauen kann.
Überlege dir dafür:
Du sollst zeigen: Wenn $r$ irreduzibel und $s = r*a$ für eine Einheit $a$, dann ist $s$ irreduzibel.
Es geht also einzig darum zu zeigen, dass $s$ irreduzibel ist; du darfst dafür aber die Vorbedingungen verwenden.
Also zeigen wir, dass $s$ irreduzibel ist:
Sei $s = pq$ eine Zerlegung von $s$ in ein Produkt. Ist $p$ eine Einheit so sind wir fertig, daher angenommen $p$ ist keine Einheit.
Das wäre ein möglicher Anfang für den Beweis. Dabei sind die Vorüberlegungen zwar überaus wichtig, aber diese musst du beim Beweis nicht alle runterschreiben, erwähne sie besser an der Stelle, wo du sie benötigst.
Mit dem obigen Anfang wollen wir jetzt zeigen, dass $s$ irreduzibel ist. Wir müssen also zeigen, dass $q$ eine Einheit ist. Das könnte zB so weiter gehen:
Da $s$ und $r$ assoziiert sind gibt es eine Einheit $a [mm] \in [/mm] R$ mit $r = as = apq$.
Den letzten Schritt darfst du jetzt übernehmen; folgere aus der Tatsache, dass $r$ irreduzibel ist und dass $p$ keine Einheit ist, dass das $q$ jetzt zwingend eine Einheit sein muss.
Wie du siehst ist der tatsächliche Beweis (der später aufs Papier/auf die Abgabe kommt) nur wenige Zeilen lang; auch wenn die Vorüberlegungen natürlich einige Zeit gekostet haben. Ich würde dir empfehlen es zu üben Aussagen so kurz und präzise wie möglich (aber natürlich immer noch vollständig und richtig^^) zu beweisen; zum einen ist dadurch die Gefahr Fehler zu machen geringer, zum anderen hast du zB in einer Klausur auch keine Zeit zwei Seiten pro Aufgabe zu schreiben.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Sa 01.12.2012 | | Autor: | triad |
Hallo und Danke für deine Antwort.
>
> Sei [mm]s = pq[/mm] eine Zerlegung von [mm]s[/mm] in ein Produkt. Ist [mm]p[/mm] eine
> Einheit so sind wir fertig
Hier hast du jetzt aber nicht gesagt was q ist, oder ist das egal? Ich meine nicht, denn wenn q hier auch eine Einheit wäre, dann wäre dies auch s (z.B. in [mm] \IZ) [/mm] und dann kann s nicht mehr irreduzibel sein laut unserer Definition.
>
> Das wäre ein möglicher Anfang für den Beweis. Dabei sind
> die Vorüberlegungen zwar überaus wichtig, aber diese
> musst du beim Beweis nicht alle runterschreiben, erwähne
> sie besser an der Stelle, wo du sie benötigst.
> Mit dem obigen Anfang wollen wir jetzt zeigen, dass [mm]s[/mm]
> irreduzibel ist. Wir müssen also zeigen, dass [mm]q[/mm] eine
> Einheit ist. Das könnte zB so weiter gehen:
>
> Da [mm]s[/mm] und [mm]r[/mm] assoziiert sind gibt es eine Einheit [mm]a \in R[/mm] mit
> [mm]r = as = apq[/mm].
>
>
> Den letzten Schritt darfst du jetzt übernehmen; folgere
> aus der Tatsache, dass [mm]r[/mm] irreduzibel ist und dass [mm]p[/mm] keine
> Einheit ist, dass das [mm]q[/mm] jetzt zwingend eine Einheit sein
> muss.
Naja, r irreduzibel heisst es gibt eine Zerlegung von r = xy in eine Einheit x und eine Nichteinheit y. Dann steht da meinetwegen xy = apq, aber warum jetzt q Einheit sein muss, sowas sehe ich nie. Vielleicht kannst du nur einen kleinen Tipp geben.
> Wie du siehst ist der tatsächliche Beweis (der später
> aufs Papier/auf die Abgabe kommt) nur wenige Zeilen lang;
> auch wenn die Vorüberlegungen natürlich einige Zeit
> gekostet haben. Ich würde dir empfehlen es zu üben
> Aussagen so kurz und präzise wie möglich (aber natürlich
> immer noch vollständig und richtig^^) zu beweisen; zum
> einen ist dadurch die Gefahr Fehler zu machen geringer, zum
> anderen hast du zB in einer Klausur auch keine Zeit zwei
> Seiten pro Aufgabe zu schreiben.
>
>
> lg
>
> Schadow
|
|
|
| |
|
> Hallo und Danke für deine Antwort.
>
> >
> > Sei [mm]s = pq[/mm] eine Zerlegung von [mm]s[/mm] in ein Produkt. Ist [mm]p[/mm] eine
> > Einheit so sind wir fertig
>
> Hier hast du jetzt aber nicht gesagt was q ist, oder ist
> das egal? Ich meine nicht, denn wenn q hier auch eine
> Einheit wäre, dann wäre dies auch s (z.B. in [mm]\IZ)[/mm] und
> dann kann s nicht mehr irreduzibel sein laut unserer
> Definition.
Da hast du Recht.
Nach Definition sind Einheiten nie irreduzibel, also muss man in diesem Fall dazu sagen, dass $q$ keine Einheit ist oder aber, dass $s$ keine Einheit ist und damit $q$ auch keine.
> >
> > Das wäre ein möglicher Anfang für den Beweis. Dabei sind
> > die Vorüberlegungen zwar überaus wichtig, aber diese
> > musst du beim Beweis nicht alle runterschreiben, erwähne
> > sie besser an der Stelle, wo du sie benötigst.
> > Mit dem obigen Anfang wollen wir jetzt zeigen, dass [mm]s[/mm]
> > irreduzibel ist. Wir müssen also zeigen, dass [mm]q[/mm] eine
> > Einheit ist. Das könnte zB so weiter gehen:
> >
> > Da [mm]s[/mm] und [mm]r[/mm] assoziiert sind gibt es eine Einheit [mm]a \in R[/mm]
> mit
> > [mm]r = as = apq[/mm].
> >
> >
> > Den letzten Schritt darfst du jetzt übernehmen; folgere
> > aus der Tatsache, dass [mm]r[/mm] irreduzibel ist und dass [mm]p[/mm] keine
> > Einheit ist, dass das [mm]q[/mm] jetzt zwingend eine Einheit sein
> > muss.
>
> Naja, r irreduzibel heisst es gibt eine Zerlegung von r =
> xy in eine Einheit x und eine Nichteinheit y. Dann steht da
> meinetwegen xy = apq, aber warum jetzt q Einheit sein muss,
> sowas sehe ich nie. Vielleicht kannst du nur einen kleinen
> Tipp geben.
Es ist $r=apq$ und da wir in einem kommutativen Ring sind, können wir $r = paq$ schreiben.
Nun ist $p$ keine Einheit und $r$ irreduzibel, das heißt $aq$ muss eine Einheit sein.
Was sagt das über $q$ aus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Sa 01.12.2012 | | Autor: | triad |
> > >
> > > Das wäre ein möglicher Anfang für den Beweis. Dabei sind
> > > die Vorüberlegungen zwar überaus wichtig, aber diese
> > > musst du beim Beweis nicht alle runterschreiben, erwähne
> > > sie besser an der Stelle, wo du sie benötigst.
> > > Mit dem obigen Anfang wollen wir jetzt zeigen, dass
> [mm]s[/mm]
> > > irreduzibel ist. Wir müssen also zeigen, dass [mm]q[/mm] eine
> > > Einheit ist. Das könnte zB so weiter gehen:
> > >
> > > Da [mm]s[/mm] und [mm]r[/mm] assoziiert sind gibt es eine Einheit [mm]a \in R[/mm]
>
> > mit
> > > [mm]r = as = apq[/mm].
> > >
> > >
> > > Den letzten Schritt darfst du jetzt übernehmen; folgere
> > > aus der Tatsache, dass [mm]r[/mm] irreduzibel ist und dass [mm]p[/mm] keine
> > > Einheit ist, dass das [mm]q[/mm] jetzt zwingend eine Einheit sein
> > > muss.
> >
> > Naja, r irreduzibel heisst es gibt eine Zerlegung von r =
> > xy in eine Einheit x und eine Nichteinheit y. Dann steht da
> > meinetwegen xy = apq, aber warum jetzt q Einheit sein muss,
> > sowas sehe ich nie. Vielleicht kannst du nur einen kleinen
> > Tipp geben.
>
> Es ist [mm]r=apq[/mm] und da wir in einem kommutativen Ring sind,
> können wir [mm]r = paq[/mm] schreiben.
> Nun ist [mm]p[/mm] keine Einheit und [mm]r[/mm] irreduzibel, das heißt [mm]aq[/mm]
> muss eine Einheit sein.
> Was sagt das über [mm]q[/mm] aus?
Wenn [mm] a\cdot{q} [/mm] eine Einheit ist, dann ist sowohl a als auch q eine Einheit? Gilt das eigentlich in jedem Ring bzw. Integritätsbereich? Damit meine ich so eine Äquivalenz wie
[mm] \varepsilon [/mm] ist Einheit [mm] \gdw \varepsilon_1 [/mm] ist Einheit und [mm] \varepsilon_2 [/mm] ist Einheit,
wobei [mm] \varepsilon=\varepsilon_1*\varepsilon_2.
[/mm]
Damit wäre gezeigt, dass s = pq irreduzibel ist, da q Einheit und p keine Einheit.
|
|
|
| |
|
> Wenn [mm]a\cdot{q}[/mm] eine Einheit ist, dann ist sowohl a als auch
> q eine Einheit? Gilt das eigentlich in jedem Ring bzw.
> Integritätsbereich?
Ja, das gilt in jedem Ring.
Ist $a*q$ eine Einheit, so gibt es ein $b [mm] \in [/mm] R$ mit $(a*q)*b = 1$. Mit dem Assoziativgesetz erhält man dann $a*(q*b)=1$, also ein Inverses von $a$.
Analog erhält man auch eins für $q$. Ist also ein Produkt eine Einheit, so sind schon alle Faktoren Einheiten. Anders herum gilt auch: Wenn alle Faktoren Einheiten sind, so auch ihr Produkt.
lg
Schadow
|
|
|
|
