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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mi 10.02.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | 2 ist irreduzibel in [mm] \mathbb{Z} [\sqrt{-5}], [/mm] aber nicht prim |
Hallo. Mir ist noch nicht klar, was genau "prim" bedeutet.
Zunächst zum ersten Teil: zeige, dass 2 in [mm] \mathbb{Z} [\sqrt{-5}] [/mm] irreduzibel ist: [mm] \mathbb{Z} [\sqrt{-5}] [/mm] ist integer, 2 [mm] \neq0, [/mm] 2 [mm] \not \in [/mm] A*. 2 ist also irreduzibel, falls aus 2=ab folgt, dass a oder b eine Einheit ist. Da 2 [mm] \in \mathbb{Z} [\sqrt{-5}], [/mm] kann es geschrieben werden: [mm] 2=u+\sqrt{-5} [/mm] w, mit u,w [mm] \in \mathbb{Z}. [/mm] Norm: [mm] N(\alpha+\sqrt{-5} \beta)=\alpha^2 [/mm] + [mm] (\sqrt{-5}\beta)^2, [/mm] also N(2)=4=N(a)N(b), N(a)=2 ist nicht möglich, da 2 nicht als Linearkombi [mm] a^2+(\sqrt{-5}b)^2 [/mm] dargestellt werden kann. Also a=1 oder b=1. Ist das so ok?
Zum zweiten Teil: wir haben definiert: ein Element heißt prim, falls das von dem Element erzeugte Ideal ein Primideal ist. I ist genau dann ein Primideal von A, wenn A/I integer ist. Ich kann mir aber weder unter prim noch unter Primideal was vorstellen (außer natürlich die Primzahlen und die von ihnen erzeugten Ideale). Hat jemand vielleicht eine anschaulichere Definition oder Beispiele dazu? Kann mir jemand zeigen, wie man nun konkret "nachrechnet", dass 2 nicht prim ist?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar,
lg moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mi 10.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> 2 ist irreduzibel in [mm]\mathbb{Z} [\sqrt{-5}],[/mm] aber nicht
> prim
> Hallo. Mir ist noch nicht klar, was genau "prim"
> bedeutet.
Eure genaue Definition wäre da sehr hilfreich.
> Zunächst zum ersten Teil: zeige, dass 2 in [mm]\mathbb{Z} [\sqrt{-5}][/mm]
> irreduzibel ist: [mm]\mathbb{Z} [\sqrt{-5}][/mm] ist integer, 2
Was heißt "integer" denn bei euch? Ich kenn das nur als ganzzahlig ...
> [mm]\neq0,[/mm] 2 [mm]\not \in[/mm] A*. 2 ist also irreduzibel, falls aus
> 2=ab folgt, dass a oder b eine Einheit ist. Da 2 [mm]\in \mathbb{Z} [\sqrt{-5}],[/mm]
> kann es geschrieben werden: [mm]2=u+\sqrt{-5}[/mm] w, mit u,w [mm]\in \mathbb{Z}.[/mm]
naja, sogar mit [m]u=1,w=0[/m].
> Norm: [mm]N(\alpha+\sqrt{-5} \beta)=\alpha^2[/mm] +
> [mm](\sqrt{-5}\beta)^2,[/mm] also N(2)=4=N(a)N(b), N(a)=2 ist nicht
> möglich, da 2 nicht als Linearkombi [mm]a^2+(\sqrt{-5}b)^2[/mm]
> dargestellt werden kann.
Warum?
> Also a=1 oder b=1. Ist das so ok?
Nein. Es folgt OBdA [m]N(a)=1[/m]. Und die einzigen Elemente mit Norm 1 sind die beiden Einheiten [m]1,-1[/m].
> Zum zweiten Teil: wir haben definiert: ein Element heißt
> prim, falls das von dem Element erzeugte Ideal ein
> Primideal ist. I ist genau dann ein Primideal von A, wenn
> A/I integer ist.
Was heißt integer?
Ich kenne prim so: p ist prim, falls aus [m]p|a*b[/m] folgt das [m]p|a[/m] oder [m]p|b[/m]. Kommt dir das bekannt vor?
> Ich kann mir aber weder unter prim noch
> unter Primideal was vorstellen (außer natürlich die
> Primzahlen und die von ihnen erzeugten Ideale). Hat jemand
> vielleicht eine anschaulichere Definition oder Beispiele
> dazu? Kann mir jemand zeigen, wie man nun konkret
> "nachrechnet", dass 2 nicht prim ist?
Du musst folgendes finden: eine Zahl m mit [m]m=n*2[/m], also eine gerade Zahl, die von 2 geteilt wird. Das reicht nicht, denn du brauchst noch zwei Zahlen a,b mit [m]a*b=m[/m], so dass aber weder a noch b von 2 geteilt wird. Am besten wäre es dafür wenn [m]N(2)[/m] weder [m]N(a)[/m] noch [m]N(b)[/m] teilt. Da in den ganzen Zahlen ja 2 prim ist, wirst du Elemente der Form [m][mm] u+w*\sqrt{-5}[/mm] [/mm] mit [m]w\neq 0[/m] betrachten müssen. Am besten multipliziere zwei davon um eine gerade Zahl zu erhalten. Ideen nun?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:25 Fr 12.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Zunächst zum ersten Teil: zeige, dass 2 in [mm]\mathbb{Z} [\sqrt{-5}][/mm]
> > irreduzibel ist: [mm]\mathbb{Z} [\sqrt{-5}][/mm] ist integer, 2
>
> Was heißt "integer" denn bei euch? Ich kenn das nur als
> ganzzahlig ...
Meistens meint man damit, dass [mm] $\IZ[\sqrt{-5}]$ [/mm] ein Integritaetsbereich ist.
LG Felix
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