irreduzibilität eines polynoms < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] x^{4} [/mm] + 2 [mm] x^{2} [/mm] +1 irreduzibel in [mm] \IQ [/mm] ? |
ich mache quotientenreduktion modulo 2,ergibt fürs polynom:
[mm] x^{4} [/mm] +1 mit nullstelle 1 mod 2
wie kann ich denn jetzt weiter vorgehen.wie könnte ich denn das polynom jetzt z.b. in all seine linearfaktoren zerlegen oder zeigen dass das nicht geht?
wenn 1 mod 2 die einzige nullstelle ist,die [mm] x^{4} [/mm] +1 hat ,so ist [mm] x^{4} [/mm] +1
in [mm] \IZ [/mm] modulo 2 irreduzibel und somit auch in [mm] \IQ.ist [/mm] das richtig,das habe ich mir selbst überlegt unter benutzung der koeffizientenreduktion modulo p
ich habe auch viel kompliziertere irreduzibilitätskriterien erfolgreich ausprobiert,aber da muss man meiner meinung nach viel zu viel rumprobieren,was ich überhaupt nicht mag.kann mir jemand weiterhelfen,wie das geht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Sa 10.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]x^{4}[/mm] + 2 [mm]x^{2}[/mm] +1 irreduzibel in [mm]\IQ[/mm] ?
>
> ich mache quotientenreduktion modulo 2,ergibt fürs
> polynom:
>
> [mm]x^{4}[/mm] +1 mit nullstelle 1 mod 2
> wie kann ich denn jetzt weiter vorgehen
Bei einem allgemeinen Polynom: nicht 2, sondern andere Primzahlen benutzen. Und gucken ob es da besser ist.
Hier sieht man allerdings sofort, dass die sogenannten binomischen Formeln weiterhelfen.
> .wie könnte ich
> denn das polynom jetzt z.b. in all seine linearfaktoren
> zerlegen oder zeigen dass das nicht geht?
Wieso sollte es ueber [mm] $\IQ$ [/mm] in Linearfaktoren zerfallen? Das tut es naemlich nicht. Aber in zwei quadratische.
> wenn 1 mod 2 die einzige nullstelle ist,die [mm]x^{4}[/mm] +1 hat
> ,so ist [mm]x^{4}[/mm] +1
> in [mm]\IZ[/mm] modulo 2 irreduzibel
Quark: wenn es eine Nullstelle modulo 2 hat, dann ist es modulo 2 reduzibel! (Es ist $(x + [mm] 1)^4 [/mm] = [mm] x^4 [/mm] + 1$ modulo 2, es zerfaellt also sogar in Linearfaktoren.)
LG Felix
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danke für die antwort,dass es reduzibel in [mm] \IZ [/mm] modulo 2 ist ,weiß ich dann auch,aber das sagt doch garnichts über die irreduzibilität in [mm] \IQ [/mm] aus,dazu dürfte genau dann modulo p gar keine nullstellen existieren.
es müsste doch ausreichen,einfach die nullstellen zu berechnen und zu zeigen ,dass sie irrational sind,anders geht es wohl nicht einfacher.
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ich meine man könnte ja auch sehr komlizierte polynome nehmen ,wo man weder eisenstein noch koeffizientenreduktion modulo p machen kann.da kann man höchstens mit einheitswurzeln arbeiten,ansonsten muss man doch immer die nullstellen aufwendig berechnen oder? bei dem polynom oben genannt ,ist es doch das einzige was man machen kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 So 11.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> danke für die antwort,dass es reduzibel in [mm]\IZ[/mm] modulo 2
> ist ,weiß ich dann auch,aber das sagt doch garnichts über
> die irreduzibilität in [mm]\IQ[/mm] aus,
Nein, sagt es auch nicht.
> dazu dürfte genau dann
> modulo p gar keine nullstellen existieren.
Nicht "genau dann", aber "dann"! Ein kleiner, aber wichtiger Unterschied!
> es müsste doch ausreichen,einfach die nullstellen zu
> berechnen und zu zeigen ,dass sie irrational sind,anders
> geht es wohl nicht einfacher.
Nein, das reicht nicht: die Nullstellen sind alle irrational, aber das Polynom ist sehr wohl reduzibel.
Kennst du die binomische Formel $(a + [mm] b)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + 2 a b + [mm] b^2$? [/mm] Oder den Spezialfall $(a + [mm] 1)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + 2 a + 1$?
LG Felix
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entschuldigung : ich muss korrigieren
ich meinte nicht [mm] x^{4} [/mm] + 2 [mm] x^{2} [/mm] +1
sondern [mm] x^{4} [/mm] + 2 [mm] x^{2} [/mm] -1
hier kann man die binomischen formeln gar nicht benutzen.
aber ich habe einen trick:
setze x=z-1 ,was immer noch im körper enthaltenist,da dieser additiv abgeschlossen ist.dann funktioniert auch wieder das eisenstein-kriterium und das polynom ist doch irreduzibel über den rationalen zahlen.
mit koeffizientenreduktion modulo 2
habe ich [mm] x^{4} [/mm] +1 ,wo ihr mir klargemacht habt,das 1mod 2 vierfache nullstelle ist [mm] x^{4} [/mm] +1 = [mm] (x+1)^{4}.ist [/mm] also modulo 2 reduzibel,und demnach ist dieses kriterium nicht erfüllt.
ich hab das doch richtig verstanden oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:34 Di 13.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> entschuldigung : ich muss korrigieren
> ich meinte nicht [mm]x^{4}[/mm] + 2 [mm]x^{2}[/mm] +1
> sondern [mm]x^{4}[/mm] + 2 [mm]x^{2}[/mm] -1
> hier kann man die binomischen formeln gar nicht benutzen.
Ja, dann geht es nicht.
> aber ich habe einen trick:
> setze x=z-1 ,was immer noch im körper enthaltenist,da
> dieser additiv abgeschlossen ist.dann funktioniert auch
> wieder das eisenstein-kriterium und das polynom ist doch
> irreduzibel über den rationalen zahlen.
Genau, das geht.
> mit koeffizientenreduktion modulo 2
> habe ich [mm]x^{4}[/mm] +1 ,wo ihr mir klargemacht habt,das 1mod 2
> vierfache nullstelle ist [mm]x^{4}[/mm] +1 = [mm](x+1)^{4}.ist[/mm] also
> modulo 2 reduzibel,und demnach ist dieses kriterium nicht
> erfüllt.
Genau. Was aber nicht bedeutet, dass das Polynom ueber [mm] $\IQ$ [/mm] reduzibel ist.
> ich hab das doch richtig verstanden oder?
Ja, hast du.
LG Felix
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