irreduzible < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Sa 05.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | | Ist das Polynom [mm] T^2+1 [/mm] in [mm] \IC[T] [/mm] irreduzibel? |
Hallo Forum,
wie ihr bereits vermutet, beschäftige ich mich gerade mit irreduzblen Polynomen.
Bei mir im Script wird das Polynom [mm] T^2+1 [/mm] in verschiedenen Körpern betrachtet. Dabei wird untersucht, wie viele Nullstellen in dem entsprechenden Körper entstehen.
In [mm] \IR[T] [/mm] leuchtet mir das ein. [mm] T^2+1 [/mm] besitzt keine Nullstelle, da sowohl [mm] T^2 [/mm] also auch 1 positiv sind. Deshalb kann ich auch [mm] T^2+1 [/mm] auch nicht als (T+a)(T+b) bei a,b [mm] \in \IR [/mm] ausdrücken. Somit ist das Polynom in [mm] \IR [/mm] irreduzibel.
In [mm] \IC[T] [/mm] wird aufgeführt, daß sich das Polynom durch (T+i)(T-i) ausdrücken läßt. Genau dieses aber verstehe ich nicht.
Könnte mir da bitte Jemand helfen?
Grüße,
Micha
... Ähm. ich habe noch mal nachgedacht.
Bitte schreibt mal, ob ich auf dem richtigen Weg bin:
[mm] (T+i)(T-i)=(T^2-i^2)=T^2-(-1)=T^2+1
[/mm]
Tja, wenn ich das so sehe, sieht es eigentlich logisch aus...
Dann Könnte ich [mm] T^2+1 [/mm] in zwei irreduzible Faktoren zerlegen und damit ist [mm] T^2+1 [/mm] in [mm] \IC[T] [/mm] reduzibel.
Noch mal Grüße,
Micha
|
|
| |
|
Hallo Micha,
ich verstehe nicht ganz, wo das Problem liegt. Als Mathe-Student im Grundstudium müsstest Du die hierfür nötigen Grundlagen problemlos draufhaben, und damit meine ich nicht Frage der Reduzibilität/Irreduzibilität von Polynomen.
> Ist das Polynom [mm]T^2+1[/mm] in [mm]\IC[T][/mm] irreduzibel?
> Hallo Forum,
> wie ihr bereits vermutet, beschäftige ich mich gerade mit
> irreduzblen Polynomen.
>
> Bei mir im Script wird das Polynom [mm]T^2+1[/mm] in verschiedenen
> Körpern betrachtet. Dabei wird untersucht, wie viele
> Nullstellen in dem entsprechenden Körper entstehen.
>
> In [mm]\IR[T][/mm] leuchtet mir das ein. [mm]T^2+1[/mm] besitzt keine
> Nullstelle, da sowohl [mm]T^2[/mm] also auch 1 positiv sind. Deshalb
> kann ich auch [mm]T^2+1[/mm] auch nicht als (T+a)(T+b) bei a,b [mm]\in \IR[/mm]
> ausdrücken. Somit ist das Polynom in [mm]\IR[/mm] irreduzibel.
Da es kein lineares Glied gibt, wäre eine Zerlegung ja nur möglich, wenn das Polynom [mm] T^2-a^2 [/mm] lautet würde. Das tut es aber nicht, da -1 nicht das Quadrat einer reellen Zahl sein kann.
> In [mm]\IC[T][/mm] wird aufgeführt, daß sich das Polynom durch
> (T+i)(T-i) ausdrücken läßt. Genau dieses aber verstehe
> ich nicht.
Das meine ich: Du kennst doch sicher komplexe Zahlen? Zur Grunddefinition der in ihnen enthaltenen imaginären Zahlen gehört doch gerade [mm] i^2=-1.
[/mm]
> Könnte mir da bitte Jemand helfen?
Eigentlich gern, aber ich weiß nicht so recht, wie. Was ist denn das Problem?
Oh, dieses Nachwort sehe ich jetzt erst:
> ... Ähm. ich habe noch mal nachgedacht.
> Bitte schreibt mal, ob ich auf dem richtigen Weg bin:
>
> [mm](T+i)(T-i)=(T^2-i^2)=T^2-(-1)=T^2+1[/mm]
>
> Tja, wenn ich das so sehe, sieht es eigentlich logisch
> aus...
Eben. So stimmts.
> Dann Könnte ich [mm]T^2+1[/mm] in zwei irreduzible Faktoren
> zerlegen und damit ist [mm]T^2+1[/mm] in [mm]\IC[T][/mm] reduzibel.
So ist es. Nur mal ganz nebenbei: bist Du denn sicher, dass T+i und T-i irreduzibel sind? Und müssen sie das überhaupt sein?
> Noch mal Grüße,
> Micha
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mo 07.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
>
> Oh, dieses Nachwort sehe ich jetzt erst:
>
> > ... Ähm. ich habe noch mal nachgedacht.
> > Bitte schreibt mal, ob ich auf dem richtigen Weg bin:
> >
> > [mm](T+i)(T-i)=(T^2-i^2)=T^2-(-1)=T^2+1[/mm]
> >
> > Tja, wenn ich das so sehe, sieht es eigentlich logisch
> > aus...
>
> Eben. So stimmts.
>
> > Dann Könnte ich [mm]T^2+1[/mm] in zwei irreduzible Faktoren
> > zerlegen und damit ist [mm]T^2+1[/mm] in [mm]\IC[T][/mm] reduzibel.
>
> So ist es. Nur mal ganz nebenbei: bist Du denn sicher, dass
> T+i und T-i irreduzibel sind? Und müssen sie das
> überhaupt sein?
>
> > Noch mal Grüße,
> > Micha
>
> Grüße
> reverend
Hallo Reverend,
ich komme erst jetzt dazu, dir zu antworten.
Tja, manchmal hat man einen Knoten im Kopf. Ich hatte irgendwie ein Brett vorm Kopf und dann, kurz bevor ich den Beitrag abgesendet habe eigentlich schon gesehen, Wie sich [mm] T^2+1 [/mm] in [mm] \IC [/mm] zusammensetzen lässt.
>
> So ist es. Nur mal ganz nebenbei: bist Du denn sicher, dass
> T+i und T-i irreduzibel sind? Und müssen sie das
> überhaupt sein?
>
... jetzt machst du mich unsicher. Ich bin mir eigentlich schon sicher, daß T+1 und T-1 irreduzibel sind. Sie müssen es aber natürlich nicht sein. Wäre ein Faktor ein reduzibles Polynom, dann ist mein untersuchtes Polynom natürlich auch irreduzibel.
Wenn ich meine Unterlagen richtig verstehe, dann kann jedes reduzible Polynom in [mm] \IC [/mm] durch eine Multiplikation von irruduzieblen Polynomen ausgedrückt werden.
Ich hab das jetzt mal so verstanden, wie man in [mm] \IN [/mm] auch jede natürliche Zahl durch die Multiplikation von Primzahlen ausdrücken kann.
Grüße,
Micha
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > So ist es. Nur mal ganz nebenbei: bist Du denn sicher, dass
> > T+i und T-i irreduzibel sind? Und müssen sie das
> > überhaupt sein?
> >
> ... jetzt machst du mich unsicher. Ich bin mir eigentlich
> schon sicher, daß T+1 und T-1 irreduzibel sind.
Das ist richtig. Beweisen kannst du das leicht mit dem Gradsatz:
Weil [mm] $\IC$ [/mm] nullteilerfrei ist, gilt für Polynome $f,g [mm] \in \IC[T]$: $\deg(f*g) [/mm] = [mm] \deg(f) +\deg(g)$.
[/mm]
Außerdem weißt du (weil [mm] $\IC$ [/mm] Körper), dass alle konstanten Polynome (d.h. diejenigen mit [mm] $\deg(f) [/mm] = 0$) invertierbar sind.
Ist nun $T+1$ reduzibel, müsste es $f,g$ geben mit $T+1 = f*g$.
Daraus folgt $1 = [mm] \deg(T+1) [/mm] = [mm] \deg(f) [/mm] + [mm] \deg(g)$.
[/mm]
Wie kannst du nun einen Widerspruch zur Definition der Reduzibilität herleiten?
> Sie
> müssen es aber natürlich nicht sein. Wäre ein Faktor ein
> reduzibles Polynom, dann ist mein untersuchtes Polynom
> natürlich auch irreduzibel.
Ersetze "auch irreduzibel" durch "trotzdem reduzibel", dann ist es OK. 
> Wenn ich meine Unterlagen richtig verstehe, dann kann jedes
> reduzible Polynom in [mm]\IC[/mm] durch eine Multiplikation von
> irruduzieblen Polynomen ausgedrückt werden.
Genau. Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) faktorielle Ringe (unter Beispiele), denn [mm] $\IC$ [/mm] ist ein Körper und somit [mm] $\IC[T]$ [/mm] ein euklidischer, also auch faktorieller Ring.
> Ich hab das jetzt mal so verstanden, wie man in [mm]\IN[/mm] auch
> jede natürliche Zahl durch die Multiplikation von
> Primzahlen ausdrücken kann.
So kann man sich das vorstellen.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
|
