irreduziblen Polynome < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Fr 15.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Man bestimme alle irreduziblen Polynome zweiten und dritten Grades über [mm] \IZ_{2} [/mm] und konstruiere daraus endliche Körper mit 4 bzw. 8 Elementen. |
Hallo,
kann mir jemand kurz sagen worin der Unterschied zwischen [mm] \IZ_{2} [/mm] und [mm] \IZ_{3} [/mm] ist?
Polynome 2ten Grades sind ja.
[mm] x^2
[/mm]
[mm] x^2+1
[/mm]
[mm] x^2+x
[/mm]
[mm] x^2+x+1
[/mm]
Diese sind alle reduzibel bis auf [mm] x^2+x+1. [/mm] Nun sei [mm] \alpha [/mm] eine Nullstelle von [mm] x^2+x+1, F=\IZ_{2}(\alpha)=\{0,1,\alpha,1+\alpha\}. [/mm] Nun kann ich mir eine Tabelle machen mit der addition und multiplikation.
Die Aufgabe ist soweit klar. Aber was müsste ich denn machen wenn es sich hier nicht um [mm] \IZ_{2} [/mm] sondern um [mm] \IZ_{3} [/mm] handelt?
Bitte um Hilfe! Danke und Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Fr 15.01.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Man bestimme alle irreduziblen Polynome zweiten und dritten
> Grades über [mm]\IZ_{2}[/mm] und konstruiere daraus endliche
> Körper mit 4 bzw. 8 Elementen.
> kann mir jemand kurz sagen worin der Unterschied zwischen
> [mm]\IZ_{2}[/mm] und [mm]\IZ_{3}[/mm] ist?
[mm] \IZ_3 [/mm] ist [mm] \IZ/3*\IZ, [/mm] hat also 3 Elemente.
> Polynome 2ten Grades sind ja.
>
> [mm]x^2[/mm]
> [mm]x^2+1[/mm]
> [mm]x^2+x[/mm]
> [mm]x^2+x+1[/mm]
>
> Diese sind alle reduzibel bis auf [mm]x^2+x+1.[/mm] Nun sei [mm]\alpha[/mm]
> eine Nullstelle von [mm]x^2+x+1, F=\IZ_{2}(\alpha)=\{0,1,\alpha,1+\alpha\}.[/mm]
> Nun kann ich mir eine Tabelle machen mit der addition und
> multiplikation.
Das ist soweit OK, sieht aber für [mm] \IZ_3 [/mm] anders aus. Da gibt es mehr Polynome.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:27 Fr 15.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo!
>
> > Man bestimme alle irreduziblen Polynome zweiten und dritten
> > Grades über [mm]\IZ_{2}[/mm] und konstruiere daraus endliche
> > Körper mit 4 bzw. 8 Elementen.
>
> > kann mir jemand kurz sagen worin der Unterschied zwischen
> > [mm]\IZ_{2}[/mm] und [mm]\IZ_{3}[/mm] ist?
>
> [mm]\IZ_3[/mm] ist [mm]\IZ/3*\IZ,[/mm] hat also 3 Elemente.
>
> > Polynome 2ten Grades sind ja.
> >
> > [mm]x^2[/mm]
> > [mm]x^2+1[/mm]
> > [mm]x^2+x[/mm]
> > [mm]x^2+x+1[/mm]
> >
> > Diese sind alle reduzibel bis auf [mm]x^2+x+1.[/mm] Nun sei [mm]\alpha[/mm]
> > eine Nullstelle von [mm]x^2+x+1, F=\IZ_{2}(\alpha)=\{0,1,\alpha,1+\alpha\}.[/mm]
> > Nun kann ich mir eine Tabelle machen mit der addition und
> > multiplikation.
>
> Das ist soweit OK, sieht aber für [mm]\IZ_3[/mm] anders aus. Da
> gibt es mehr Polynome.
>
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
Hallo, und genau da, weiß ich nicht wie das aussehen soll. Kannst du mir evtl. dort weiterhelfen?
Grüße
|
|
|
| |
|
> > sieht aber für [mm]\IZ_3[/mm] anders aus. Da
> > gibt es mehr Polynome.
> Hallo, und genau da, weiß ich nicht wie das aussehen soll.
> Kannst du mir evtl. dort weiterhelfen?
Hallo,
vielleicht sagst Du mal genau, an welcher Stelle Dein Problem liegt.
Immerhin hast Du ja auch die irreduziblen Polynome über [mm] \IZ_2 [/mm] herausgefunden.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Fr 15.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
sind das denn einfach die folgenden?
[mm] x^3
[/mm]
[mm] x^3+x^2
[/mm]
[mm] x^3+x^2+x
[/mm]
[mm] x^3+x^2+x+1
[/mm]
[mm] x^3+x
[/mm]
[mm] x^3+x+1
[/mm]
[mm] x^3+1
[/mm]
[mm] x^3+x^2+1
[/mm]
Also gibt [mm] \IZ_{2} [/mm] den Exponenten der Polynome an? Hier [mm] x^2
[/mm]
Bei [mm] \IZ_{3} [/mm] -> [mm] x^3?
[/mm]
Grüße
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> sind das denn einfach die folgenden?
>
> [mm]x^3[/mm]
> [mm]x^3+x^2[/mm]
> [mm]x^3+x^2+x[/mm]
> [mm]x^3+x^2+x+1[/mm]
> [mm]x^3+x[/mm]
> [mm]x^3+x+1[/mm]
> [mm]x^3+1[/mm]
> [mm]x^3+x^2+1[/mm]
>
> Also gibt [mm]\IZ_{2}[/mm] den Exponenten der Polynome an? Hier [mm]x^2[/mm]
> Bei [mm]\IZ_{3}[/mm] -> [mm]x^3?[/mm]
Hallo,
oh weh.
Polynome über K sind Polynome, deren Koeffizienten K entstammen.
In der von Dir aktuell zu bearbeitenden Fragestellung also solche, deren Koeffizienten aus [mm] \IZ_3 [/mm] sind.
Weißt Du, was "irreduzibel" ist, und woran man das im Falle der Polynome vom Grad 2 und 3 erkennen kann?
Falls nicht: nacharbeiten, bevor Du irgendwelche Lösungsversuche unternimmst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Fr 15.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
> > Hallo,
> >
> > sind das denn einfach die folgenden?
> >
> > [mm]x^3[/mm]
> > [mm]x^3+x^2[/mm]
> > [mm]x^3+x^2+x[/mm]
> > [mm]x^3+x^2+x+1[/mm]
> > [mm]x^3+x[/mm]
> > [mm]x^3+x+1[/mm]
> > [mm]x^3+1[/mm]
> > [mm]x^3+x^2+1[/mm]
> >
> > Also gibt [mm]\IZ_{2}[/mm] den Exponenten der Polynome an? Hier [mm]x^2[/mm]
> > Bei [mm]\IZ_{3}[/mm] -> [mm]x^3?[/mm]
>
> Hallo,
>
> oh weh.
>
> Polynome über K sind Polynome, deren Koeffizienten K
> entstammen.
>
> In der von Dir aktuell zu bearbeitenden Fragestellung also
> solche, deren Koeffizienten aus [mm]\IZ_3[/mm] sind.
>
>
> Weißt Du, was "irreduzibel" ist, und woran man das im
> Falle der Polynome vom Grad 2 und 3 erkennen kann?
>
> Falls nicht: nacharbeiten, bevor Du irgendwelche
> Lösungsversuche unternimmst.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Hallo,
irreduzibel -> nicht auflösbar -> [mm] x^2+x+1 [/mm] hat keine Nullstellen in [mm] \IZ_{2}
[/mm]
reduzibel -> [mm] x^2 [/mm] = x*x usw. oder [mm] x^2+x= [/mm] x(x+1)
Aber meine Frage ist einfach nur, was ist der [mm] \IZ_{2} [/mm] und was ist [mm] \IZ_{3}
[/mm]
und worin unterscheiden sich diese? Wenn ich ja [mm] \IZ_{3} [/mm] in der obigen Aufgabenstellung stehen hätte, was müsste ich denn dort machen? Das wäre ja nicht dasselbe...
Ok, die Polynome die oben stehen, sind polynome über [mm] \IZ_{2}. [/mm] Aber wie würden die Polynome über dem [mm] \IZ_{3} [/mm] aussehen? Und das ist ja im prinzip schon alles, was ich wissen möchte...
Grüße
|
|
|
| |
|
> Aber meine Frage ist einfach nur, was ist der [mm]\IZ_{2}[/mm] und
> was ist [mm]\IZ_{3}[/mm]
> und worin unterscheiden sich diese? Wenn ich ja [mm]\IZ_{3}[/mm] in
> der obigen Aufgabenstellung stehen hätte, was müsste ich
> denn dort machen? Das wäre ja nicht dasselbe...
>
> Ok, die Polynome die oben stehen, sind polynome über
> [mm]\IZ_{2}.[/mm] Aber wie würden die Polynome über dem [mm]\IZ_{3}[/mm]
> aussehen? Und das ist ja im prinzip schon alles, was ich
> wissen möchte...
Hallo,
[mm] \IZ_2=\IZ [/mm] / [mm] 2\IZ [/mm] und [mm] \IZ_3=\IZ/3\IZ, [/mm] die Restklassen modulo 2 bzw. modulo 3.
Und denen müssen die Koeffizienten Deiner Polynome entstammen.
Gruß v. Angela
>
> Grüße
|
|
|
|
