irreduzibles Polynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Mo 17.01.2011 | | Autor: | m51va |
| Aufgabe | | Finden Sie ein Polynom vierten Grades, welchen über [mm] $\mathbb{F}_5$ [/mm] irreduzibel ist und beweisen Sie es. |
Also [mm] $\IF_{5}$ [/mm] der Körper hat fünf Elemente [mm] $\IF_{5}=\{0,1,2,3,4 \}$, [/mm] die als Koeffizienten des Polynoms in Frage kommen.
Ich habe nun [mm] $x^4-x^2-3$ [/mm] genommen. Dass es keine Nullstelle in [mm] $\IF_5$ [/mm] besitzt kann man durch einsetzen schnell nachrechnen. Aber ich muss doch auch noch zeigen, dass es nicht in zwei quadratische Glieder zerfällt oder?
Dazu habe ich
[mm] $x^4 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 3 = [mm] (x^2 [/mm] + ax + b) [mm] \cdot (x^2 [/mm] + cx + d) [mm] =x^4 [/mm] + [mm] (a+c)x^3 [/mm] + [mm] (ac+b+d)x^2 [/mm] + (ad+bc)x + bd $ gesetzt und wollte diese Zerlegung über koeffizientenvergleich ausschließen.
es folgt 1. $a=-c$ --> 2. [mm] $-a^2 [/mm] + b+d=-1$ sowie 3. $a(d-b)=0$ und 4. $bd=-3$.
Aus 3. könnte sich $b=d$ ergeben, dann wäre in 4. [mm] $-3=b^2$, [/mm] allerdings ist [mm] $-3\equiv [/mm] 2$ kein quadrat in [mm] $\IF_5$. [/mm] Demnach muss $a=0$ sein. Aus 2. erhält man dann $d=-(1+b)$ und schließlich in 4. $3=b(1+b)$....
an dieser Stelle finde ich allerdings keinen Widerspruch....
kann einer weiterhelfen
gruß m51va
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Mo 17.01.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Finden Sie ein Polynom vierten Grades, welchen über
> [mm]\mathbb{F}_5[/mm] irreduzibel ist und beweisen Sie es.
> Also [mm]\IF_{5}[/mm] der Körper hat fünf Elemente
> [mm]\IF_{5}=\{0,1,2,3,4 \}[/mm], die als Koeffizienten des Polynoms
> in Frage kommen.
> Ich habe nun [mm]x^4-x^2-3[/mm] genommen. Dass es keine Nullstelle
> in [mm]\IF_5[/mm] besitzt kann man durch einsetzen schnell
> nachrechnen. Aber ich muss doch auch noch zeigen, dass es
> nicht in zwei quadratische Glieder zerfällt oder?
> Dazu habe ich
> [mm]x^4 - x^2 - 3 = (x^2 + ax + b) \cdot (x^2 + cx + d) =x^4 + (a+c)x^3 + (ac+b+d)x^2 + (ad+bc)x + bd[/mm]
> gesetzt und wollte diese Zerlegung über
> koeffizientenvergleich ausschließen.
> es folgt 1. [mm]a=-c[/mm] --> 2. [mm]-a^2 + b+d=-1[/mm] sowie 3. [mm]a(d-b)=0[/mm]
> und 4. [mm]bd=-3[/mm].
> Aus 3. könnte sich [mm]b=d[/mm] ergeben, dann wäre in 4. [mm]-3=b^2[/mm],
> allerdings ist [mm]-3\equiv 2[/mm] kein quadrat in [mm]\IF_5[/mm]. Demnach
> muss [mm]a=0[/mm] sein. Aus 2. erhält man dann [mm]d=-(1+b)[/mm] und
> schließlich in 4. [mm]3=b(1+b)[/mm]....
> an dieser Stelle finde ich allerdings keinen
> Widerspruch....
> kann einer weiterhelfen
Ist 3 = b(1+b) = [mm] b^2 [/mm] + b in [mm] F_5 [/mm] lösbar?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Mo 17.01.2011 | | Autor: | m51va |
okay ich habs verstanden... hatte ein brett vorm kopf...
> Ist 3 = b(1+b) = [mm]b^2[/mm] + b in [mm]F_5[/mm] lösbar?
da [mm] $b^2$ [/mm] in [mm] $\IF_5$ [/mm] nur die reste 0,1,4 lässt, kann [mm] $3=b^2+b$ [/mm] in [mm] $\IF_5$ [/mm] keine Lösung haben....
danke schön
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