isolierte Singularitäten < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:36 Mi 04.02.2009 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | $f: [mm] z\mapsto \frac{1}{cos^2(\frac{1}{z})}$
[/mm]
Zu bestimmen sind der Definitionsbereich und die Art aller isolierten Singularitäten von f. |
Also der Definitionsbereich ist [mm] $\IC [/mm] / [mm] \{\frac{2}{\pi (2n+1)}, n\in\IZ\}$
[/mm]
Die Definitionslücken haben einen Häufungspunkt in 0 wobei 0 selber nicht dazugehört, also sind die Singularitäten alle isoliert.
Soweit richtig?
Was ist nun zu tun um die Art zu bestimmen?
vlg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Mi 04.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f: z\mapsto \frac{1}{cos^2(\frac{1}{z})}[/mm]
>
> Zu bestimmen sind der Definitionsbereich und die Art aller
> isolierten Singularitäten von f.
> Also der Definitionsbereich ist [mm]\IC / \{\frac{2}{\pi (2n+1)}, n\in\IZ\}[/mm]
Nicht ganz richtig . Die 0 mußt Du noch entfernen.
>
> Die Definitionslücken haben einen Häufungspunkt in 0 wobei
> 0 selber nicht dazugehört, also sind die Singularitäten
> alle isoliert.
Genauer: sei A:={ [mm] \frac{2}{\pi (2n+1)}, n\in\IZ\ [/mm] }
Dann ist jedes [mm] z_0 \in [/mm] A eine isolierte Singularität von f.
>
> Soweit richtig?
>
> Was ist nun zu tun um die Art zu bestimmen?
>
Das hängt davon ab, was Ihr in der Vorlesung hattet.
Sei [mm] z_0 \in [/mm] A . Dann: [mm] \limes_{z\rightarrow z_0}cos^2(1/z) [/mm] = 0,
also [mm] \limes_{z\rightarrow z_0}|f(z)| [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Damit ist [mm] z_0 [/mm] keine hebbare Singularität( Riemannscher Hebbarkeitssatz !) und auch keine wesentliche Singularität (Satz von Casorati-Weierstraß !!). Also ist [mm] z_0 [/mm] ein Pol von f
FRED
> vlg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Mi 04.02.2009 | | Autor: | MacMath |
Alles klar, nur eine kurze rückfrage zur ergänzung: Wieso muss ich 0 explizit ausschließen?
Also A=A \ {0} wegen [mm] $0\not\in [/mm] A$ oder sehe ich da was falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Mi 04.02.2009 | | Autor: | fred97 |
In 0 ist f nicht definiert.
0 ist aber keine isolierte Singularität, denn 0 ist Häufungspunkt von Polen (also Warschau, ha ha , ich weiß: sehr witzig)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Mi 04.02.2009 | | Autor: | MacMath |
Hast natürlich recht, ich hatte vergessen 0 aus dem Definitionsbereich zu nehmen.
Und den Warschau-witz kannte war ich schon, finde den allerdings wirklich ganz amüsant^^
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