isometrisch, kurze Frage < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | | Zwei metrische Räume (X,d) und (X',d') heißen isometrisch wenn es eine surjektive Abbildung g: X--> X' gibt, so dass d(x,y)=d'(g(x),g(y)) |
Ich habe in verschiedenen Quellen gefunden, dass diese Abbildung eig bijektiv sein muss, aber in unserer Vorlesung wurde sie als surjektiv definiert. Kann ich nun einfach Injektivität folgern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Mo 03.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zwei metrische Räume (X,d) und (X',d') heißen isometrisch
> wenn es eine surjektive Abbildung g: X--> X' gibt, so dass
> d(x,y)=d'(g(x),g(y))
>
> Ich habe in verschiedenen Quellen gefunden, dass diese
> Abbildung eig bijektiv sein muss, aber in unserer Vorlesung
> wurde sie als surjektiv definiert. Kann ich nun einfach
> Injektivität folgern?
Ja. Nimm doch mal an, dass $f(x) = f(y)$ ist. Dann ist ja $d(x, y) = d'(f(x), f(y)) = 0$. Also ...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | | Sei (X,d) vollständig und isometrisch zu (X',d'). Zeigen Sie, dass (X',d') vollständig ist. |
Oh vielen Dank!
Habe nun obige Aufgabe. Reicht folgendes als Beweis? :
Für eine Cauchyfolge [mm] x_{n} [/mm] in X gilt: [mm] d(x_{n},x)-->0
[/mm]
also [mm] \Rightarrow d'(g(x_{n}),g(x))--> [/mm] 0 für n--> [mm] \infty
[/mm]
da x [mm] \in [/mm] X, ist g(x) [mm] \in [/mm] X', und da [mm] g(x_{n}) [/mm] Cauchyfolge in X', ist X' vollständig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mo 03.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei (X,d) vollständig und isometrisch zu (X',d'). Zeigen
> Sie, dass (X',d') vollständig ist.
>
> Oh vielen Dank!
> Habe nun obige Aufgabe. Reicht folgendes als Beweis? :
> Für eine Cauchyfolge [mm]x_{n}[/mm] in X gilt: [mm]d(x_{n},x)-->0[/mm]
> also [mm]\Rightarrow d'(g(x_{n}),g(x))-->[/mm] 0 für n--> [mm]\infty[/mm]
> da x [mm]\in[/mm] X, ist g(x) [mm]\in[/mm] X', und da [mm]g(x_{n})[/mm] Cauchyfolge
> in X', ist X' vollständig?
Nein: hier verwendest du ja schon, dass die Folge [mm] $x_n$ [/mm] gegen $x$ konvergiert.
Fang mit einer Folge in $X'$ an, etwa [mm] $y_n$, [/mm] $n [mm] \in \IN$, [/mm] welche eine Cauchy-Folge ist.
Wenn [mm] $\varphi [/mm] : X [mm] \to [/mm] X'$ eine Isometrie ist, ist sie ja insb. bijektiv (wie wir jetzt wissen), womit du [mm] $x_n [/mm] := [mm] \varphi^{-1}(x_n)$ [/mm] setzen kannst.
Zeige jetzt, dass [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge in $X$ ist. Dann gibt es einen Grenzwert $x [mm] \in [/mm] X$ von dieser CF. Schliesslich musst du zeigen, dass $y := [mm] \varphi(x)$ [/mm] der Grenzwert von [mm] $(y_n)_{n\in\IN}$ [/mm] in $X'$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Zorba |
Danke dir. Mit deiner Idee krieg ich das hin.
Aber wie genau meinst du folgenden Satz: " hier verwendest du ja schon, dass die Folge $ [mm] x_n [/mm] $ gegen x konvergiert."
Warum darf ich das nicht verwenden? X ist doch vollständig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Mo 03.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Danke dir. Mit deiner Idee krieg ich das hin.
> Aber wie genau meinst du folgenden Satz: " hier verwendest
> du ja schon, dass die Folge [mm]x_n[/mm] gegen x konvergiert."
> Warum darf ich das nicht verwenden? X ist doch vollständig.
Du willst eine Aussage ueber Cauchyfolgen in $X'$ machen. Du faengst aber mit einer konvergenten Folge in $X$ an. Das kannst du natuerlich tun, nur liefert dir das erstmal nichts ueber Cauchyfolgen in $X'$...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Zorba |
AH, jetzt hab ichs geschnallt. Danke nochmal!
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